Question

設(shè)函數(shù)

(1)若是函數(shù)的極值點，和是函數(shù)的兩個不同零點，且，求；

(2)若對任意，都存在（為自然對數(shù)的底數(shù)），使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）;（2） 

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)極值的定義,對函數(shù)求導，利用導數(shù)為求出對應的值為極值點,可得到一個關(guān)于的等式，又由函數(shù)零點的定義，可得,這樣就可解得的值; （2）由題中所給任意，可設(shè)出關(guān)于的函數(shù)，又由得的最大值，根據(jù)要求，使得成立，可將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，結(jié)合函數(shù)特點可求導數(shù)，由導數(shù)與的大小關(guān)系，可想到對與的大小關(guān)系進行分類討論，利用函數(shù)的最值與的大小關(guān)系，從而得到的取值范圍．

試題解析：解（1），∵是函數(shù)的極值點，∴.∵1是函數(shù)的零點，得，

由解得.          4分

∴,，

，所以，故．    8分

（2）令，，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，根據(jù)題意，對任意，都存在，使得成立，則在有解，

令，只需存在使得即可，

由于=，

令，，

∴在(1，e)上單調(diào)遞增，，            10分

①當，即時，，即，在(1，e)上單調(diào)遞增，∴，不符合題意.             12分

②當，即時，，

若，則，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上單調(diào)遞減,

∴存在，使得，符合題意.             14分

若，則，∴在(1，e)上一定存在實數(shù)m，使得，∴在(1，m)上恒成立，即恒成立， 在(1，m)上單調(diào)遞減,∴存在，使得，符合題意.

綜上所述，當時，對任意，都存在，使得成立.   16分

考點：1.函數(shù)的極值;2.函數(shù)的零點;3.函數(shù)與方程