Question

某同學(xué)對(duì)函數(shù)f（x）=xcosx進(jìn)行研究后，得出以下五個(gè)結(jié)論：①函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形；②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）＞0均成立；③函數(shù)的圖象與x軸有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；④函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；⑤當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是    ．

Answer 1

【答案】分析：對(duì)于①，由于f（-x）=-f（x）是奇函數(shù)，函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形，故正確；
先畫出原函數(shù)f（x）=xcosx的簡(jiǎn)圖．由圖可知：②③錯(cuò)；
對(duì)于④，根據(jù)cosx的周期性，故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等．故正確；
對(duì)于⑤，因cosx=k．其中|k|＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)（0，0）．從而進(jìn)行判斷即可．
解答：解：先畫出原函數(shù)f（x）=xcosx的簡(jiǎn)圖．
對(duì)于①，由于f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx，f（x）=xcosx，
∴f（-x）=-f（x）是奇函數(shù)，函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形，故正確；
由圖可知：②錯(cuò)；
對(duì)于③，令f（x）=xcosx=0可得x=0或x=kπ+，即函數(shù)的圖象與x軸有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，其公共點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）和（kπ+，0），
其中（0，0）與（，0），（0，0）與（-，0）相鄰兩公共點(diǎn)的距離為，
其余相鄰兩公共點(diǎn)的距離為π，
則③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，因f（x）=xcosx=x即x=0或cosx=1，其有無窮多個(gè)解，根據(jù)cosx的周期性，故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等．故正確；
對(duì)于⑤，因xcosx=kx，即x=0或cosx=k．其中|k|＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)（0，0）．故正確．
故所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④⑤．
故答案為：①④⑤．
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，牢記基本知識(shí)，基本性質(zhì)是解好數(shù)學(xué)題目的關(guān)鍵．