Question

某同學(xué)對(duì)函數(shù)f（x）=xcosx進(jìn)行研究后，得出以下五個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形；
②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）≤|x|均成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；
⑤當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

①②④⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=xcosx是奇函數(shù)可得①正確．根據(jù)|cosx|≤1，可得②正確．根據(jù)當(dāng)x=kπ，k∈z 時(shí)，函數(shù)f（x）
=xcosx=0，可得③正確．根據(jù)當(dāng) x=2kπ，k∈z 時(shí)，方程xcosx=x 成立，可得④正確．
根據(jù)方程 xcosx=kx，|k|＞1，有唯一解為 x=0，可得⑤正確．

解答：解：由于函數(shù)f（x）=xcosx是奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確．
由于|cosx|≤1，故|f（x）|≤|x|，∴f（x）≤|x|成立，故②正確．
由于當(dāng)x=kπ，k∈z 時(shí)，函數(shù)f（x）=xcosx=0，故函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，
且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等，故③正確．
由于方程xcosx=x 即cosx=1，故  x=2kπ，k∈z，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，
且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等，且等于2π，故④正確．
由方程 xcosx=kx，|k|＞1，可得此方程有唯一解為 x=0，故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx
有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故⑤正確．
故答案為：①②④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．