【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+cx(a>0),其圖象在點(1,f(1))處的切線與直線 x﹣6y+21=0垂直,導(dǎo)函數(shù)
f′(x)的最小值為﹣12.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)在x∈[﹣2,2]的值域.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=ax3+cx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3ax2+c,
其圖象在點(1,f(1))處的切線斜率為k=3a+c,
切線與直線 x﹣6y+21=0垂直,可得3a+c=﹣6,
f′(x)的最小值為﹣12,即有c=﹣12,
解得,a=2,c=﹣12
(2)解:函數(shù)f(x)=2x3﹣12x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=6x2﹣12,
由f′(x)=0,可得x=± ,
由f( )=﹣8 ,f(﹣ )=8 ,
f(﹣2)=8,f(2)=﹣8.
可得f(x)在[﹣2,2]的最大值為8 ,最小值為﹣8 .
即有函數(shù)的值域為[﹣8 ,8 ]
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為﹣1,再由二次函數(shù)的最值求法,可得a,c的值;(2)求出導(dǎo)數(shù),求得極值,以及端點處的函數(shù)值,即可得到值域.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題:若關(guān)于的方程無實數(shù)根,則;命題:若關(guān)于的方程有兩個不相等的正實數(shù)根,則.
(1)寫出命題的否命題,并判斷命題的真假;
(2)判斷命題“且”的真假,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張師傅欲將一球形的石材工件削砍加工成一圓柱形的新工件,已知原球形工件的半徑為,則張師傅的材料利用率的最大值等于(注:材料利用率=)( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)球半徑為R,圓柱的體積為時圓柱的體積最大為 ,因此材料利用率= ,選C.
點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法
求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時,一般過球心及接、切點作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.
【題型】單選題
【結(jié)束】
12
【題目】已知拋物線: 在點處的切線與曲線: 相切,若動直線分別與曲線、相交于、兩點,則的最小值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: 的焦點為圓的圓心.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率的直線過拋物線的焦點與拋物線相交于兩點,求弦長.
【答案】(1);(2)8.
【解析】試題分析:(1)先求圓心得焦點,根據(jù)焦點得拋物線方程(2)先根據(jù)點斜式得直線方程,與拋物線聯(lián)立方程組,利用韋達定理以及弦長公式得弦長.
試題解析:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心坐標(biāo)為,
即焦點坐標(biāo)為,得到拋物線的方程:
(2)直線: ,聯(lián)立,得到
弦長
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】已知函數(shù)在點處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)某氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示.過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即時間t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).
(1)當(dāng)t=4時,求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲袋中有1只黑球,3只紅球;乙袋中有2只黑球,1只紅球.
(1)從甲袋中任取兩球,求取出的兩球顏色不相同的概率;
(2)從甲,乙兩袋中各取一球,求取出的兩球顏色相同的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊.若acosB=3,bcosA=l,且A﹣B=
(1)求邊c的長;
(2)求角B的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正四棱錐P﹣ABCD中,PA=AB=2,點M,N分別在PA,BD上,且 = .
(1)求異面直線MN與PC所成角的大小;
(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.
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