已知函數(shù)f（x）=ln（x+a），g（x）=數(shù)學(xué)公式x3+b，直線l：y=x與y=f（x）相切，
（1）求a的值
（2）若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且僅有兩個解x1，x2求b的取值范圍，并比較x1x2+1與x1+x2的大�。�3）設(shè)n≥2時，n∈N*，求證：數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式+…數(shù)學(xué)公式＜1

解：（1）設(shè)切（x0，y0），y0=x0，，
∴x0+a=1，且y0=ln（x0+a）=0，∴x0=0，a=1（3分）
（2）ln（x+a）=，得
令h（x）=，
在（0，1）上h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）單調(diào)減
在（1，+∞）上，h′（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）單調(diào)增
∴，若h（x）圖在（0，+∞）內(nèi)x軸有兩個不同的交點，則
，此時h（3）=
所b的范圍為．（8分）
由上知，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且僅有兩個x1、x2，滿足0＜x1＜1，x2＞1，
∴x1x2+1-（x1+x2）=（1-x1）（1-x2）＜0
∴x1x2+1＜（x1+x2）
（3）求導(dǎo)數(shù)可證f（x）≤x，即ln（x+1）≤x（10分）
故n≥2，n∈N*時，lnn＜n-1
∴（12分）
∴（13分）
分析：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，方程思想解決
（2）考查構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)范圍，利用圖象數(shù)形結(jié)合列式求解
（3）考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，構(gòu)建函數(shù)能力
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，對學(xué)生的能力要求較大，屬于難題
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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