【題目】選修:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l過點M(1,0),傾斜角為.
(Ⅰ)求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數(shù)方程;
(Ⅱ)若曲線C經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C′,且直線l與曲線C′交于A,B兩點,求|MA|+|MB|.
【答案】(1)(x﹣2)2+4y2=4, ,(t為參數(shù));(2).
【解析】試題分析:
(Ⅰ)極坐標方程化簡直角坐標方程可得曲線C的直角坐標方程為(x﹣2)2+4y2=4,利用點的坐標和傾斜角可得直線的參數(shù)方程為,(t為參數(shù));
(Ⅱ)利用題意求得伸縮變換之后的方程,然后利用弦長公式可得弦長為 .
試題解析:
(Ⅰ)∵曲線C的極坐標方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0,
∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2﹣4x+3y2=0,整理,得(x﹣2)2+4y2=4,
∵直線l過點M(1,0),傾斜角為,
∴直線l的參數(shù)方程為,即,(t是參數(shù)).
(Ⅱ)∵曲線C經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C′,
∴曲線C′為:(x﹣2)2+y2=4,
把直線l的參數(shù)方程,(t是參數(shù))代入曲線C′:(x﹣2)2+y2=4,
得:,
設A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=,t1t2=﹣3,
|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】微信紅包是一款可以實現(xiàn)收發(fā)紅包、查收記錄和提現(xiàn)的手機應用.某網(wǎng)絡運營商對甲、乙兩個品牌各5種型號的手機在相同環(huán)境下?lián)尩降募t包個數(shù)進行統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):
手機品牌 型號 | I | II | III | IV | V |
甲品牌(個) | 4 | 3 | 8 | 6 | 12 |
乙品牌(乙) | 5 | 7 | 9 | 4 | 3 |
手機品牌 紅包個數(shù) | 優(yōu) | 非優(yōu) | 合計 |
甲品牌(個) | |||
乙品牌(個) | |||
合計 |
(1)如果搶到紅包個數(shù)超過5個的手機型號為“優(yōu)”,否則為“非優(yōu)”,請完成上述2×2列聯(lián)表,據(jù)此判斷是否有85%的把握認為搶到的紅包個數(shù)與手機品牌有關?
(2)如果不考慮其他因素,要從甲品牌的5種型號中選出3種型號的手機進行大規(guī)模宣傳銷售.
①求在型號I被選中的條件下,型號II也被選中的概率;
②以表示選中的手機型號中搶到的紅包超過5個的型號種數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.
下面臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式: ,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】心理學家分析發(fā)現(xiàn)“喜歡空間想象”與“性別”有關,某數(shù)學興趣小組為了驗證此結論,從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學(男生30人、女生20人),給每位同學立體幾何題、代數(shù)題各一道,讓各位同學自由選擇一道題進行解答,選題情況統(tǒng)計如下表:(單位:人)
立體幾何題 | 代數(shù)題 | 總計 | |
男同學 | 22 | 8 | 30 |
女同學 | 8 | 12 | 20 |
總計 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握認為“喜歡空間想象”與“性別”有關?
(2)經(jīng)統(tǒng)計得,選擇做立體幾何題的學生正答率為,且答對的學生中男生人數(shù)是女生人數(shù)的5倍,現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行研究,記抽取的兩人中答對的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】輪船由甲地逆水勻速行駛至乙地,甲、乙兩地相距s(km),水流速度為p(km/h),輪船在靜水中的最大速度為q(km/h)(p,q為常數(shù),且q>p),已知輪船每小時的燃料費用與輪船在靜水中的速度v(km/h)成正比,比例系數(shù)為常數(shù)k.
(1)將全程燃料費用y(元)表示為靜水中速度v(km/h)的函數(shù);
(2)若s=100,p=10,q=110,k=2,為了使全程的燃料費用最少,輪船的實際行駛速度應為多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)f(x)為增函數(shù),且f(f(x))=4x+9,g(x)=mx+m+3(m∈R).
(1)當x∈[-1,2]時,若不等式g(x)>0恒成立,求m的取值范圍;
(2)如果函數(shù)F(x)=f(x)g(x)為偶函數(shù),求m的值;
(3)當函數(shù)f(x)和g(x)滿足f(g(x))=g(f(x))時,求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明同學在寒假社會實踐活動中,對白天平均氣溫與某家奶茶店的品牌飲料銷量之間的關系進行了分析研究,他分別記錄了1月11日至1月15日的白天氣溫()與該奶茶店的品牌飲料銷量(杯),得到如表數(shù)據(jù):
日期 | 1月11號 | 1月12號 | 1月13號 | 1月14號 | 1月15號 |
平均氣溫() | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
銷量(杯) | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)若先從這五組數(shù)據(jù)中抽出2組,求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
(2)請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出關于的線性回歸方程式;
(3)根據(jù)(2)所得的線性回歸方程,若天氣預報1月16號的白天平均氣溫為,請預測該奶茶店這種飲料的銷量.
(參考公式:,)
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【題目】為了參加師大附中第30界田徑運動會的開幕式,高三年級某6個班聯(lián)合到集市購買了6根竹竿,作為班旗的旗桿之用,它們的長度分別為3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1(單位:米).
(Ⅰ)若從中隨機抽取兩根竹竿,求長度之差不超過0.5米的概率;
(Ⅱ)若長度不小于4米的竹竿價格為每根10元,長度小于4米的竹竿價格為每根元.從這6根竹竿中隨機抽取兩根,若期望這兩根竹竿的價格之和為18元,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知隨機變量的取值為不大于的非負整數(shù)值,它的分布列為:
0 | 1 | 2 | n | ||
其中()滿足: ,且.
定義由生成的函數(shù),令.
(I)若由生成的函數(shù),求的值;
(II)求證:隨機變量的數(shù)學期望, 的方差;
()
(Ⅲ)現(xiàn)投擲一枚骰子兩次,隨機變量表示兩次擲出的點數(shù)之和,此時由生成的函數(shù)記為,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)將函數(shù)的圖像向右平移個單位得到函數(shù)的圖像,若,求函數(shù)的值域;
(2)已知,分別為中角的對邊,且滿足,求的面積.
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