Question

張林在李明的農(nóng)場附近建了一個小型工廠，由于工廠生產(chǎn)須占用農(nóng)場的部分資源，因此李明每年向張林索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入．工廠在不賠付農(nóng)場的情況下，工廠的年利潤x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關(guān)系x=2000

t

．若工廠每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付農(nóng)場s元（以下稱s為賠付價格）．
（1）將工廠的年利潤w（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出工廠獲得最大利潤的年產(chǎn)量；
（2）若農(nóng)場每年受工廠生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額y=0.002t²（元），在工廠按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，農(nóng)場要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向張林的工廠要求賠付價格s是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中賠付價格為s元/噸，所以工廠的實際年利潤為w=2000

t

-st．我們利用配方法易求出工廠方取得最大年利潤的年產(chǎn)量；
（2）由已知得，若農(nóng)場凈收入為v元，則v=st-0.002t²．再由x=2000

t

．我們可以得到農(nóng)場凈收入v與賠付價格s之間的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)法，我們易求出答案．

解答：解：（Ⅰ）工廠的實際年利潤為：w=2000

t

-st（t≥0）．
w=2000

t

-st=-s(

t

-

1000

s

)2+

10002

s

，
當(dāng)t=(

1000

s

)2時，w取得最大值．
所以工廠取得最大年利潤的年產(chǎn)量t=(

1000

s

)2（噸）．
（Ⅱ）設(shè)農(nóng)場凈收入為v元，則v=st-0.002t²．
v′=-

10002

s2

+

8×10003

s5

=

10002(8000-s3)

s5

，
將t=(

1000

s

)2代入上式，
得：v=

10002

s

-

2×10003

s4

．
又令v'=0，得s=20． 當(dāng)s＜20時，v'＞0；當(dāng)s＞20時，v'＜0，
所以當(dāng)s=20時，v取得最大值．
故在工廠按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，農(nóng)場要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向張林的工廠要求賠付價格s為20元．

點評：函數(shù)的實際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．