Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=2，點M是PB的中點，點N在BC邊上移動．
（I）求證：當N是BC邊的中點時，MN∥平面PAC；
（Ⅱ）證明，無論N點在BC邊上何處，都有PN⊥AM；
（Ⅲ）當BN等于何值時，PA與平面PDN所成角的大小為45°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中點E，連接EN，利用三角形中位線的性質，可得線線平行，從而可得平面MNE∥平面PAC，利用面面平行的性質，可得MN∥平面PAC；
（Ⅱ）先證明BC⊥平面PAB，可得線面垂直，進而可證AM⊥平面PBC，利用線面垂直的性質，可得無論N點在BC邊的何處，都有PN⊥AM；
（Ⅲ）建立空間直角坐標系，可得平面PDN的法向量

n

=(1，2-m，2)，利用向量的夾角公式，結合PA與平面PDN所成角的大小為45°，即可求得BN的值．

解答：（Ⅰ）證明：取AB的中點E，連接EN，
∵M是PB的中點，N是BC中點，∴ME∥PA，NE∥AC．
∵ME∩NE=E，PA∩AC=A，∴平面MNE∥平面PAC．
又MN?平面MNE，∴MN∥平面PAC…（4分）
（Ⅱ）證明：∵PA=AB=1，M是PB的中點，∴AM⊥PB．
又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC．
又∵BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
又AM?平面PAB，∴AM⊥BC．
∵PB∩BC=B
∴AM⊥平面PBC．
又PN?平面PBC，∴PN⊥AM．
所以無論N點在BC邊的何處，都有PN⊥AM；…（8分）
（Ⅲ）解：分別以AD，AB，AP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設BN=m，則A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，1，0），C（2，1，0），N（m，1，0），P（0，0，1），
∴

PD

=(2，0，-1)，

PN

=(m，1，-1)，

PA

=(0，0，-1)．
設平面PDN的法向量為

n

=（x，y，z），則

n• PD =0 n• PN =0

，∴

2x-z=0 mx+y-z=0

令x=1得y=2-m，z=2，則

n

=(1，2-m，2)
設PA與平面PDN所成的角為θ，則sinθ=|cos＜

PA

，

n

＞|=

2

5+(2-m)2

，
∴

2

5+(2-m)2

=

2

2

，
解得m=2-

3

或m=2+

3

（舍去）．
∴m=2-

3

．…（12分）

點評：本題考查線面平行，線面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面平行，線面垂直的判定，正確運用空間向量，解決空間角問題．