【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2＋lnx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

(2)求證：當x>1時， x2＋lnx<x3.

【答案】 (1) f(x)的單調增區(qū)間為(0，＋∞) (2)略

【解析】

（1）對函數(shù)求導，根據(jù)定義域，即可判斷其單調性，從而知單調區(qū)間。

（2）證明當x>1時，，只需證當x>1時，，

可設，只需證明時，，因此，利用導數(shù)研究的單調性，得出，結論得證。

(1)依題意知函數(shù)的定義域為{x|x>0}，

∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0，∴f(x)的單調增區(qū)間為(0，＋∞)．

(2)設g(x)＝x3－x2－lnx，∴g′(x)＝2x2－x－，

∵當x>1時，g′(x)＝>0，

∴g(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，∴g(x)>g(1)＝>0，

∴當x>1時， x2＋lnx<x3.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】空氣質量指數(shù)PM2.5（單位：μg/m3）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重：

PM2.5
日均濃度

0～35

35～75

75～115

115～150

150～250

＞250

空氣質量級別

一級

二級

三級

四級

五級

六級

空氣質量類型

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對空氣質量指數(shù)PM2.5進行監(jiān)測，獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示：

（1）根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識估計甲、乙兩城市15天內哪個城市空氣質量總體較好？（注：不需說明理由）
（2）在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優(yōu)或良的概率；
（3）在乙城市15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設X為空氣質量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓以，為焦點，且離心率

（1）求橢圓的方程；

（2）過點斜率為的直線與橢圓有兩個不同交點、，求的范圍；

（3）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為、，是否存在直線，滿足（2）中的條件且使得向量與垂直？如果存在，寫出的方程；如果不存在，請說明理由。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線x2=8y的焦點．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）直線x=﹣2與橢圓交于P，Q兩點，A，B是橢圓上位于直線x=﹣2兩側的動點，若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），n∈N* ， 且a1=1，求證：
（1）數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設p：實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2＜0； q：實數(shù)x滿足＜0．

（1）若a=1，且p∨q為真，求實數(shù)x的取值范圍；

（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，A、B、C、D為平面四邊形ABCD的四個內角．

（1）證明：tan ；
（2）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan +tan +tan +tan 的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在底面為梯形的四棱錐S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，∠BAD=135°，AD=DC= ，SA=SC=SD=2，O為AC中點．

（1）求證：SO⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖,矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直,且∠ BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分別為BE,AE,BC的中點.

(1)求證:直線DE與平面FGH平行;

(2)若點P在直線GF上,且二面角D-BP-A的大小為,試確定點P的位置.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案