【題目】設(shè)函數(shù)fx)=ax2+12axlnxaR).

1)討論fx)的單調(diào)性;

2)當(dāng)a0時(shí),證明fxlnae2)﹣2ae為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

【答案】(1)見解析 (2)證明見解析

【解析】

1)先求出導(dǎo)函數(shù)f'x),再對(duì)a分情況討論,分別求出函數(shù)fx)的單調(diào)區(qū)間;

2)由(1)可知當(dāng)a0時(shí),fx)的最小值為f1)=1a,令ga)=1a﹣(lnae22a)=a1lna,利用導(dǎo)數(shù)得到ga)的最小值為g1)=0,所以ga)≥0,即證得fx)≥lnae2)﹣2a

1f'x)=2ax+12a,x0,

①當(dāng)a≥0時(shí),令f'x)>0得:x1;令f'x)<0得:0x1,

∴函數(shù)fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),

②當(dāng)a0時(shí),若1,即a時(shí),f'x≤0fx)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞),

1a0時(shí),fx)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為(1),

1a時(shí),fx)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,),(1,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為(,1);

2)由(1)可知當(dāng)a0時(shí),fx)的最小值為f1)=1a,

ga)=1a﹣(lnae22a)=a1lna,

g'a)=1

∴當(dāng)a∈(0,1)時(shí),g'a)<0,ga)單調(diào)遞減;

當(dāng)a∈(1+∞)時(shí),g'x)>0,gx)單調(diào)遞增,

ga)的最小值為g1)=0,

ga≥0,

1alnae22a,

fxlnae2)﹣2a

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),其離心率橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)是否存在直線,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

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【題目】若定義在R上的函數(shù)滿足:對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,總有恒成立,我們稱類余弦型函數(shù).

已知類余弦型函數(shù),且,求的值;

的條件下,定義數(shù)列23,的值.

類余弦型函數(shù),且對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)t,總有,證明:函數(shù)為偶函數(shù),設(shè)有理數(shù),滿足,判斷的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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【題目】已知橢圓以原點(diǎn)為中心,左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍,直線與橢圓交于點(diǎn),且、都在軸上方,滿足;

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;

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【題目】已知函數(shù)fx)=exgx)=42,若在[0+∞)上存在x1,x2,使得fx1)=gx2),則x2x1的最小值是(  。

A.1+ln2B.1ln2C.D.e2

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【題目】如圖,已知拋物線E:y2=4x與圓M:(x3)2+y2=r2(r>0)相交于A,B,C,D四個(gè)點(diǎn).

(1)r的取值范圍;

(2)設(shè)四邊形ABCD的面積為S,當(dāng)S最大時(shí),求直線AD與直線BC的交點(diǎn)P的坐標(biāo).

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【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若的面積是面積的2倍,求的值.

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【題目】十二生肖,又稱十二屬相,中國古人拿十二種動(dòng)物來配十二地支,組成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬十二屬相,F(xiàn)有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同學(xué)一次隨機(jī)抽取一件作為禮物,甲同學(xué)喜歡馬、牛,乙同學(xué)喜歡馬、龍、狗,丙同學(xué)除了鼠不喜歡外其他的都喜歡,則這三位同學(xué)抽取的禮物都喜歡的概率是( )

A.B.C.D.

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【題目】已知拋物線C的頂點(diǎn)為O0,0),焦點(diǎn)F01

)求拋物線C的方程;

)過F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).若直線OA、OB分別交直線ly=x﹣2MN兩點(diǎn),求|MN|的最小值.

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