【題目】如圖， 是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，，BE與平面所成角為．

（Ⅰ）求證：平面 ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在線段BD上，且平面BEF，求的長(zhǎng)．

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

(Ⅰ)利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量可得二面角的余弦值；

(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)果和空間向量的結(jié)論求得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可求得的長(zhǎng)．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>平面，所以，

因?yàn)?/span>是正方形，所以，

又BD，DE交于點(diǎn)E，從而平面．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>DA，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．

因?yàn)?/span>BE與平面所成角為，即

所以．由可知，

則，，，，，

所以，

設(shè)平面BEF的法向量為，則，

即，令，則

因?yàn)?/span>平面，所以為平面的法向量，，

所以．

因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為．

（Ⅲ）點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)．則，

因?yàn)?/span>平面BEF，所以，

即，解得．

此時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，，符合題意．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和拋物線E：y2＝2px（p＞0），圓C與拋物線E的準(zhǔn)線交于M、N兩點(diǎn)，△MNF的面積為p，其中F是E的焦點(diǎn)．

（1）求拋物線E的方程；

（2）不過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，設(shè)點(diǎn)Q為圓C上任意一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q到直線l的距離最大時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同教學(xué)方式對(duì)入學(xué)數(shù)學(xué)平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個(gè)高一新班（人數(shù)均為 人）進(jìn)行教學(xué)（兩班的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)勤奮程度和自覺(jué)性一致），數(shù)學(xué)期終考試成績(jī)莖葉圖如下：

（1）現(xiàn)從乙班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于 分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，求至少有一名成績(jī)?yōu)?/span> 分的同學(xué)被抽中的概率；

（2）學(xué)校規(guī)定：成績(jī)不低于 分的優(yōu)秀，請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?/span>聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”．

附：參考公式及數(shù)據(jù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知方程.

（1）設(shè)，方程有三個(gè)不同實(shí)根，求的取值范圍；

（2）求證：是方程有三個(gè)不同實(shí)根的必要不充分條件.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校為調(diào)查高二學(xué)生上學(xué)路程所需要的時(shí)間（單位：分鐘），從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取名按上學(xué)所需要時(shí)間分組：第組，第組，第組，第組，第組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．

（）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的值．

（）若從第， ， 組中用分層抽樣的方法抽取名新生參與交通安全問(wèn)卷調(diào)查，應(yīng)從第， ， 組各抽取多少名新生？

（）在（）的條件下，該校決定從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取名新生參加交通安全宣傳活動(dòng)，求第組至少有一志愿者被抽中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】福利彩票“雙色球”中紅球的號(hào)碼可以從01，02，03，…，32，33這33個(gè)二位號(hào)碼中選取，小明利用如圖所示的隨機(jī)數(shù)表選取紅色球的6個(gè)號(hào)碼，選取方法是從第1行第9列和第10列的數(shù)字開(kāi)始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則第四個(gè)被選中的紅色球號(hào)碼為（ ）

81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85

06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49

A. 12 B. 33 C. 06 D. 16

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且OA＝2，M，N分別為OA，BC的中點(diǎn).

（1）求證：直線MN平面OCD；

（2）求點(diǎn)B到平面DMN的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為更好地落實(shí)農(nóng)民工工資保證金制度，南方某市勞動(dòng)保障部門調(diào)查了年下半年該市名農(nóng)民工（其中技術(shù)工、非技術(shù)工各名）的月工資，得到這名農(nóng)民工月工資的中位數(shù)為百元（假設(shè)這名農(nóng)民工的月工資均在（百元）內(nèi)）且月工資收入在（百元）內(nèi)的人數(shù)為，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）已知這名農(nóng)民工中月工資高于平均數(shù)的技術(shù)工有名，非技術(shù)工有名，則能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)系？

參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓C：，直線：，：

（1）若，，被圓C所截得的弦的長(zhǎng)度之比為，求實(shí)數(shù)k的值

（2）已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程

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