Question

【題目】如圖．在四棱錐中，，，平面ABCD，且．，，M、N分別為棱PC，PB的中點(diǎn).

（1）證明：A，D，M，N四點(diǎn)共面，且平面ADMN；

（2）求直線BD與平面ADMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1) 證明見(jiàn)解析；(2)

【解析】

（1）先證，再證，即可得證；要證平面ADMN，可通過(guò)求證PB垂直于ADMN中的兩條交線來(lái)證明

（2）求直線BD與平面ADMN所成角，需要找出BD在平面ADMN的射影，可通過(guò)三垂線定理去進(jìn)行證明

解：（1）證明因?yàn)?/span>M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)，所以；

又因?yàn)?/span>，所以．從而A，D，M，N四點(diǎn)共面；

因?yàn)?/span>平面ABCD，平面ABCD．所以，

又因?yàn)?/span>，，所以平面PAB，從而，

因?yàn)?/span>，且N為PB的中點(diǎn)，所以；

又因?yàn)?/span>，所以平面ADMN；

（2）如圖，連結(jié)DN；

由（1）知平面ADMN，

所以，DN為直線BD在平面ADMN內(nèi)的射影，且，

所以，即為直線BD與平面ADMN所成的角：

在直角梯形ABCD內(nèi)，過(guò)C作于H，則四邊形ABCH為矩形；

，在中，；

所以，，，

在中，，，，

所以.

綜上，直線BD與平面ADMN所成角的正弦值為.