Question

【題目】已知函數f（x）=-a2 lnx+x2-ax（a∈R）．

（1）試討論函數f（x）的單調性：

（2）若函數f（x）在區(qū)間（1，e）中有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）a∈（-e，-2）．

【解析】分析：（1）根據函數定義域，求f'（x）=，根據a 的取值情況分類討論導數的符號，研究其單調性。

（2）根據（1）中單調區(qū)間，判斷有兩個零點的條件，列出不等式組求出a的范圍即可。

詳解：（1）f（x）的定義域為（0，+）．

由f（x）=-a2lnx+x2-ax（a∈R）

可知f'（x）=，

所以若a>0，則當x∈（0，a）時，f'（x）<0，函數f（x）單調遞減，

當x∈（a，+）時，f'（x）>0，則函數f（x）單調遞增；

若a=0，則當f'（x）=2x>0在（0，+）內恒成立，函數f（x）單調遞增；

若a<0，則當x∈（0，-）時，f'（x）<0，函數f（x）單調遞減，

當x∈（-，+）時，f'（x）>0，則函數f（x）單調遞增．

（2）若a>0，f（x）在（0，a）單調遞減，在（a，+）單調遞增．

若a<0，f（x）在（0，-）單調遞減，在（-，+）單調遞增．

由題意，若f（x）在區(qū)間（1，e）中有兩個零點，則有或

得a無解或a∈（-e，-2）.

綜上，a∈（-e，-2）．