【題目】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點,及動點,的兩邊所在直線的斜率之積為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設(shè)是軸上的一點,若(1)中軌跡上存在兩點使得,求以為直徑的圓面積的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)由已知,列出方程,即可求解點的軌跡的方程;
(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,當(dāng)直線斜率不存在時,可得,當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,求解,由此列出不等式組,進(jìn)而求得,又由為長軸端點時,可求得的坐標(biāo)點,求得的值,即可得到結(jié)論.
詳解:(1)由已知,即,
所以,又三點構(gòu)成三角形,得
所以點的軌跡的方程為.
(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,
當(dāng)直線斜率不存在時,可得分別是短軸的兩端點,得到,
當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線的方程為,,,
則由得①,
聯(lián)立,得,
由得,整理得.
由韋達(dá)定理得,,②
由①②,消去得,
由,解得,
又因為為長軸端點時,可求得點,此時,
綜上,或,又因為以為直徑的圓面積,
所以的取值范圍是.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若的負(fù)整數(shù)解有且只有兩個,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】北京101中學(xué)校園內(nèi)有一個“少年湖”,湖的兩側(cè)有一個音樂教室和一個圖書館,如圖,若設(shè)音樂教室在A處,圖書館在B處,為測量A,B兩地之間的距離,某同學(xué)選定了與A,B不共線的C處,構(gòu)成△ABC,以下是測量的數(shù)據(jù)的不同方案:①測量∠A,AC,BC;②測量∠A,∠B,BC;③測量∠C,AC,BC;④測量∠A,∠C,∠B. 其中一定能唯一確定A,B兩地之間的距離的所有方案的序號是_______.
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【題目】某研究機(jī)構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力和判斷力進(jìn)行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù):
6 | 8 | 10 | 12 | |
2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請在圖中畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力.
相關(guān)公式:,.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中, 橢圓的中心在坐標(biāo)原點,其右焦點為,且點 在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點分別為,是橢圓上異于的任意一點,直線交橢圓于另一點,直線交直線于點, 求證:三點在同一條直線上
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【題目】“克拉茨猜想”又稱“猜想”,是德國數(shù)學(xué)家洛薩克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會上公布的一個猜想:任給一個正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半;如果為奇數(shù)就將它乘3加1,不斷重復(fù)這樣的運算,經(jīng)過有限步后,最終都能夠得到1.己知正整數(shù)經(jīng)過6次運算后得到1,則的值為__________.
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【題目】如圖,在直三棱柱中,,為棱的中點,為棱上一點,.
(1)確定的位置,使得平面 平面,并說明理由;
(2)設(shè)二面角的正切值為,,為線段上一點,且與平面所成角的正弦值為,求線段的長.
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【題目】給出下列命題:
①函數(shù)是奇函數(shù);
②將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖像;
③若是第一象限角且,則;
④是函數(shù)的圖像的一條對稱軸;
⑤函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱。
其中,正確的命題序號是______________
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【題目】已知函數(shù)的圖象與軸相切,且切點在軸的正半軸上.
(1)求曲線與軸,直線及軸圍成圖形的面積;
(2)若函數(shù)在上的極小值不大于,求的取值范圍.
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