Question

某工廠生產一種機器的固定成本為5000元，且每生產100部，需要加大投入2500元．對銷售市場進行調查后得知，市場對此產品的需求量為每年500部，已知銷售收入函數為H(x)=500x-

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x2，其中x是產品售出的數量0≤x≤500．
（1）若為x年產量，y表示利潤，求y=f（x）的解析式
（2）當年產量為何值時，工廠的年利潤最大？其最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據利潤等于銷售收入（H(x)=500x-

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x2 ）減去成本（25x+5000），求出y=f（x）的解析式．
（2）根據函數的解析式，利用二次函數的性質可得，當x=475時，函數y=f（x）取得最大值，計算可得結果．

解答：解：（1）利潤等于銷售收入（H(x)=500x-

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x2 ）減去成本（25x+5000），
故y=f(x)=(500x-

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x2)-25x-5000=-

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x2+475x-5000，（0≤x≤500）；
（2）利用二次函數的性質可得，當x=475時，函數y=f（x）取得最大值為

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×4752-5000=107812.5（元），
即：當年產量為475部時，工廠的年利潤最大，其最大值為：

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×4752-5000=107812.5元．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區(qū)間上的最值，二次函數的性質的應用，屬于中檔題題．