Question

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)100部，需要增加投入2500元，對(duì)銷售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后得知，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500部．已知年銷售收入為H(x)=500x-

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x2，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量．
（1）若x為年產(chǎn)量，y表示年利潤(rùn)，求y=f（x）的表達(dá)式．（年利潤(rùn)=年銷售收入-投資成本（包括固定成本））
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠的年利潤(rùn)最大，其最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）本題考查的是分段函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，當(dāng)0≤x≤500時(shí)，w=500x-

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x2-（5000+25x），當(dāng)x＞500時(shí)，w=500×500-

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-500²；
（2）用配方法化簡(jiǎn)解析式，求出最大值．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤500時(shí)，產(chǎn)品全部售出
∴W=500x-

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x2-(5000+25x)
即 W=-

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x2+475x-5000（2分）
當(dāng)x＞500時(shí)，產(chǎn)品只能售出500臺(tái)
∴W=500×500-

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×5002-(5000+25x)
即，W=-25x+120000（4分）
（2）當(dāng)0≤x≤500時(shí)，W=-

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(x-475)2+107812.5（6分）
當(dāng)x＞500時(shí)，W=120000-25x＜120000-25×500=107500（8分）
故當(dāng)年產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)取得最大利潤(rùn)，且最大利潤(rùn)為107812.5元，最佳生產(chǎn)計(jì)劃475臺(tái)．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，用配方法可求出最大值，配方法求最值是常用的方法，屬于基礎(chǔ)題．