【題目】如圖，在三棱柱中，側棱底面,且, 是棱的中點，點在側棱上運動.

(1)當是棱的中點時，求證： 平面；

(2)當直線與平面所成的角的正切值為時，求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）取線段的中點，連結．可得四邊形是平行四邊形， ，即可證明平面；（2）以為原點， ， ， 所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用向量法二面角的余弦值.

試題解析：(1)取線段的中點，連結.

∵,∴，且.

又為的中點，∴,且.

∴,且.∴四邊形是平行四邊形.

∴.

又平面平面,∴平面.

(2)∵兩兩垂直，∴以為原點， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標系，如圖,

∵三棱柱中， 平面，

∴即為直線與平面所成的角.

設，則由，得.

∴.

∴,

設平面的一個法向量為，

則

令，得，即.

又平面的一個法向量為,∴,

又二面角的平面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若對任意的實數(shù)都有成立，求實數(shù)的值；

（2）若在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，求函數(shù)的最大值.

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【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)．

（Ⅰ）若的圖像在處的切線經(jīng)過點（3,4），求的值；

（Ⅱ）若，求證： ；

（Ⅲ）當函數(shù)存在三個不同的零點時，求的取值范圍．

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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓經(jīng)過點，其離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知是橢圓上一點，，為橢圓的焦點，且，求點到軸的距離．

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【題目】某家電公司根據(jù)銷售區(qū)域?qū)N售員分成，兩組.年年初，公司根據(jù)銷售員的銷售業(yè)績分發(fā)年終獎，銷售員的銷售額（單位：十萬元）在區(qū)間，，，內(nèi)對應的年終獎分別為2萬元，2.5萬元，3萬元，3.5萬元.已知銷售員的年銷售額都在區(qū)間內(nèi)，將這些數(shù)據(jù)分成4組：，，，，得到如下兩個頻率分布直方圖：

以上面數(shù)據(jù)的頻率作為概率，分別從組與組的銷售員中隨機選取1位，記，分別表示組與組被選取的銷售員獲得的年終獎.

（1）求的分布列及數(shù)學期望；

（2）試問組與組哪個組銷售員獲得的年終獎的平均值更高？為什么？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，分別為橢圓的左、右焦點．動直線過點，且與橢圓相交于，兩點（直線與軸不重合）．

（1）若點的坐標為，求點坐標；

（2）點，設直線，的斜率分別為，，求證：；

（3）求面積最大時的直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓： ， 其左右焦點為及，過點的直線交橢圓于兩點，線段的中點為， 的中垂線與軸和軸分別交于兩點，且、、構成等差數(shù)列.

（1）求橢圓的方程；

（2）記的面積為， （為原點）的面積為，試問：是否存在直線，使得？說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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（1）求證：AO⊥平面BCD；

（2）求點D到平面ABC的距離。

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【題目】已知二次函數(shù)對一切實數(shù)，都有成立，且，，.

（1）求的解析式；

（2）記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，若，當時，求的最大值.

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