【題目】如圖在四棱錐中底面為直角梯形,,,側(cè)面為正三角形且平面底面,,分別為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)首先取中點(diǎn),連接,再證明平面平面,根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可證明平面.
(2)首先取中點(diǎn),連接,根據(jù)平面底面得到底面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,再利用空間向量計(jì)算與平面所成角即可.
(1)如圖所示:
取中點(diǎn),連接,
因?yàn)?/span>為中位線,
所以,
因?yàn)?/span>平面,所以平面.
因?yàn)?/span>,
又因?yàn)?/span>,所以.
所以四邊形為平行四邊形,
所以,
因?yàn)?/span>平面,所以平面.
因?yàn)?/span>平面,平面,,
所以平面平面.
因?yàn)?/span>平面,平面,
所以平面.
(2)取中點(diǎn),連接.
因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)槠矫?/span>底面,
所以底面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖所示:
設(shè),,,,
,,.
所以,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,即,
可取,解得,.
則,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列,滿足:對(duì)任意正整數(shù),都有,,成等差數(shù)列,,,成等比數(shù)列,且,.
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)=++…+,如果對(duì)任意的正整數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是正方形,梯形底面ABCD,且.
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求直線AF與平面CDE所成角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是,,.
(1)求;
(2)點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CD=4,,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品的包裝紙可類比如圖所示的平面圖形,其可看作是由正方形和等腰梯形拼成,已知,,在包裝的過(guò)程中,沿著將正方形折起,直至,得到多面體,分別為中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長(zhǎng)為,點(diǎn)、為棱、的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為抗擊新冠疫情,某企業(yè)組織員工進(jìn)行用款捐物的愛(ài)心活動(dòng).原則上每人以自愿為基礎(chǔ),捐款不超過(guò)400元.現(xiàn)項(xiàng)目負(fù)責(zé)人統(tǒng)計(jì)全體員工數(shù)據(jù)后,下表為隨機(jī)抽取的10名員工.的捐款數(shù)額.
員工編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
捐款數(shù)額 | 124 | 86 | 215 | 53 | 132 | 195 | 400 | 90 | 300 | 225 |
(1)若從這10名員工中任意選取3人,記選到的3人中捐款數(shù)額大于200元的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望:
(2)以表中選取的10人作為樣本.估計(jì)該企業(yè)全體員工的捐款情況,現(xiàn)從企業(yè)員工中依次抽取8人,若抽到k人的捐款數(shù)額小于200元的可能性最大,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)令,若曲線在點(diǎn)處的切線的縱截距為,求的值;
(2)設(shè),若方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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