【題目】已知函數(shù)fk(x)=ax+ka﹣x , (k∈Z,a>0且a≠1). (Ⅰ)若f1(1)=3,求f1 )的值;
(Ⅱ)若fk(x)為定義在R上的奇函數(shù),且a>1,是否存在實(shí)數(shù)λ,使得fk(cos2x)+fk(2λsinx﹣5)<0對(duì)任意x∈[0, ]恒成立,若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】解:(Ⅰ)若f1(1)=3,

則a+a﹣1=( 2﹣2=3,

∴( 2=5,

= ,或 =﹣ (舍去),

則f1 )= = ,

(Ⅱ)若fk(x)為定義在R上的奇函數(shù),

則fk(0)=a+ka=0,

解得:k=﹣1,

∵a>1,

∴fk(x)=ax﹣a﹣x在R上為增函數(shù),

則fk(cos2x)+fk(2λsinx﹣5)<0可化為:fk(cos2x)<﹣fk(2λsinx﹣5)=fk(5﹣2λsinx),

即cos2x<5﹣2λsinx對(duì)任意x∈[0, ]恒成立,

即λ< = =sinx+ 對(duì)任意x∈[0, ]恒成立,

令t=sinx,(t∈[0,1]),

則y=t+ 為減函數(shù),當(dāng)t=1時(shí),y取最小值3,

故λ<3.


【解析】(Ⅰ)若f1(1)=3,則a+a﹣1=3,結(jié)合a+a﹣1=( 2﹣2可得答案;(Ⅱ)若fk(x)為定義在R上的奇函數(shù),且a>1,則k=﹣1,fk(x)=ax﹣a﹣x在R上為增函數(shù),故問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為:λ< = =sinx+ 對(duì)任意x∈[0, ]恒成立,結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得答案.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和函數(shù)的值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇;函數(shù)值的求法:①配方法(二次或四次);②“判別式法”;③反函數(shù)法;④換元法;⑤不等式法;⑥函數(shù)的單調(diào)性法才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,給出下列四個(gè)命題: ①對(duì)角線AC1被平面A1BD和平面B1 CD1三等分;
②正方體的內(nèi)切球、與各條棱相切的球、外接球的表面積之比為1:2:3;
③以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的體積都是 ;
④正方體與以A為球心,1為半徑的球在該正方體內(nèi)部部分的體積之比為6:π
其中正確命題的序號(hào)為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=lg (a>0)為奇函數(shù),函數(shù)g(x)= +b(b∈R).
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)若b>1,討論方徎g(x)=ln|x|實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù);
(Ⅲ)當(dāng)x∈[ , ]時(shí),關(guān)于x的不等式f(1﹣x)≤log(x)有解,求b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng),其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為 , ,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下結(jié)論: ①當(dāng)x>1時(shí),甲走在最前面;
②當(dāng)x>1時(shí),乙走在最前面;
③當(dāng)0<x<1時(shí),丁走在最前面,當(dāng)x>1時(shí),丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去,最終走在最前面的是甲.
其中,正確結(jié)論的序號(hào)為(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上,多填或少填均不得分).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】平面α過(guò)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1 , α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m、n所成角的正弦值為(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知f(x)=ln(1﹣ )+1,則f(﹣7)+f(﹣5 )+f(﹣3)+f(﹣1)+f(3 )+f( 5)+f(7 )+f( 9)=(
A.0
B.4
C.8
D.16

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= ,(x>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,3).
(Ⅰ)求a的值,并在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=f(x)的圖象;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(m,m+1)上是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,三角形ABC為等腰直角三角形,AC=BC= ,AA1=1,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC1∥平面CDB1;
(2)二面角B1﹣CD﹣B的平面角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A,B,C成等差數(shù)列,2a,2b,2c成等比數(shù)列,則sinAcosBsinC=(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案