Question

【題目】【2017屆江蘇如東高級中學(xué)等四校高三12月聯(lián)考】已知數(shù)列滿足，，且對任意，都有．

（1）求，；

（2）設(shè)（）．

①求數(shù)列的通項公式；

②設(shè)數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，，且，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出，的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）①②，

【解析】

試題分析：（Ⅰ）賦值法求項：由令，，則，解得．由令，，則，解得．（Ⅱ）①由于，所以利用賦值法構(gòu)造遞推關(guān)系：令，得，即得 ，再根據(jù)等差數(shù)列定義得通項公式②因為，所以先根據(jù)裂項相消法求和：，再根據(jù)，，成等比數(shù)列，得，取倒數(shù)分離得，再由為大于1的正整數(shù)得，代入解得

試題解析：（1）由題意，令，，則，解得．

令，，則，解得．

（2）①以代替，得．

則，即．

所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列．

，．

②因為．

所以．

則，，．

因為，，成等比數(shù)列，，即．

所以，．．

解得．

又，且，，則．

所以存在正整數(shù)，，使得，，成等比數(shù)列．