【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程是:
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程.
(2)點是曲線上的動點,求點到直線距離的最大值與最小值.
【答案】(1)曲線的普通方程為,直線的直角坐標(biāo)方程為
(2),
【解析】
(1)由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù),即可求出其普通方程;由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可求出直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)由曲線C的參數(shù)方程,先設(shè)點,再由點到直線的距離公式即可求解.
解:(1)∵曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
∴曲線的普通方程為
∵直線的極坐標(biāo)方程是:
∴
∴直線的直角坐標(biāo)方程為
(2)∵點是曲線上的動點,
∴設(shè),則到直線的距離:
,
∴當(dāng)時,點到直線距離取最大值
當(dāng)時,點到直線距離取最小值
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔仔細(xì)算相還”,其大意為:“有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地”,則該人第五天走的路程為( )
A. 6里B. 12里C. 24里D. 48里
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【題目】如圖,在多面體中,四邊形是邊長為的菱形,,與交于點,平面平面,,,.
(1)求證:平面;
(2)若為等邊三角形,點為的中點,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某書店為了了解銷售單價(單位:元)在]內(nèi)的圖書銷售情況,從2018年上半年已經(jīng)銷售的圖書中隨機抽取100本,獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照,,,,,分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知樣本中銷售單價在內(nèi)的圖書數(shù)是銷售單價在內(nèi)的圖書數(shù)的2倍.
(1)求出與,再根據(jù)頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)用分層抽樣的方法從銷售單價在[8,20]內(nèi)的圖書中共抽取40本,求單價在6組樣本數(shù)據(jù)中的圖書銷售的數(shù)量;
(3)從(2)中抽取且價格低于12元的書中任取2本,求這2本書價格都不低于10元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求實數(shù)的最大值;
(2)在(1)成立的條件下,正實數(shù),滿足,證明:.
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【題目】自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況,隨機抽取了100人,統(tǒng)計結(jié)果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人數(shù) | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數(shù) | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)現(xiàn)隨機抽取1名顧客,試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率;
(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中,隨機抽取3人進(jìn)一步了解情況,用表示這3人中年齡在的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)為鼓勵顧客使用自由購,該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計有5000人購物,試估計該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時,關(guān)于的不等式在上恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.圖中的窗花是由一張圓形紙片剪去一個正十字形剩下的部分,正十字形的頂點都在圓周上.已知正十字形的寬和長都分別為x,y(單位:dm)且x<y,若剪去的正十字形部分面積為4dm2.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求其定義域;
(2)現(xiàn)為了節(jié)約紙張,需要所用圓形紙片面積最。(dāng)x取何值時,所用到的圓形紙片面積最小,并求出其最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點C在⊙O上,且∠AOC=120°,PA⊥平面ABC,AB=4,PA=2,D是PC的中點,點M是⊙O上的動點(不與A,C重合).
(1)證明:AD⊥PB;
(2)當(dāng)三棱錐D﹣ACM體積最大時,求面MAD與面MCD所成二面角的正弦值.
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