Question

如圖1，直角梯形中，，分別為邊和上的點，且，。將四邊形沿折起成如圖2的位置，使平面和平面所成二面角的大小為，

（Ⅰ）求證：直線平面；   

（Ⅱ）求二面角的大小：

Answer 1

（Ⅰ） 見解析   （Ⅱ） 

解析:

（Ⅰ），為平面和

平面所成二面角的平面角，即，………（1分）

，①………（3分）

又平面，②………（4分）

由①②知直線平面�！�……（5分）

∵BB₁∥CC₁ ，CC₁⊥平面EB₁C₁  ∴BB₁⊥平面EB₁C₁

（Ⅱ）將圖形補形成如圖3所示的正三棱柱，

作垂足為，則平面，作于

點，連，由三垂線定理得，………（7分）

所以是二面角的平面角………（9分）

為正三角形，四邊形為正方形，，，，………（11分）

又二面角與二面角互補

二面角的大小為………（12分）

（Ⅱ）解法二：如圖以中點為原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，  ，………（6分）

可求平面的一個法向量為………（7分）

設(shè)平面的一個法向量為

由

令則，，………（9分）

………（11分）

二面角的大小為………（12分）