Question

定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)、公比均為．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}（k∈N^*）各項(xiàng)的和；
（2）是否存在數(shù)列{a_n}的一個(gè)無窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知無窮等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)與公比，得到無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}的通項(xiàng)公式，得到無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}的首項(xiàng)與公比，即可求出無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}各項(xiàng)的和；
（2）存在，理由為：設(shè)出子數(shù)列的首項(xiàng)與公比，根據(jù)題意得到q的范圍為，進(jìn)而求出1-q的范圍，得到的范圍，令各項(xiàng)的和等于，表示出首項(xiàng)a₁，根據(jù)1-q的范圍，求出a₁的范圍，而根據(jù)題意得a₁=（m為正整數(shù)），可得a₁及q的值，故滿足題意的無窮子數(shù)列存在且唯一，根據(jù)求出的a₁和q的值，寫出其通項(xiàng)公式即可；
（3）根據(jù)題意設(shè)計(jì)問題為：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．不存在，理由是：分別設(shè)出這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，分別表示出各項(xiàng)的和，根據(jù)乘積為1，得到關(guān)系式，化簡后，根據(jù)m，n，a，b為正整數(shù)，得到左邊可能為偶數(shù)或分?jǐn)?shù)，而右邊只能為奇數(shù)，故等式不可能成立，則這樣的兩個(gè)子數(shù)列不存在．
解答：解：（1）依條件得：，
∴無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}的首項(xiàng)為a₂=，公比為，
則無窮等比數(shù)列{a_3k-1}各項(xiàng)的和為：；
（2）設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公比為q，由條件得：，
則，即 ，
∴
而 ，
則 ，
所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項(xiàng)、公比均為，
其通項(xiàng)公式為，n∈N^*；
（3）問題：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和之積為1．設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中a、b、m、n∈N^*且a≠b或m≠n，則，
因?yàn)榈仁阶筮吇驗(yàn)榕紨?shù)，或?yàn)橐粋�(gè)分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個(gè)奇數(shù)的乘積，還是一個(gè)奇數(shù)．
故等式不可能成立，即假設(shè)錯(cuò)誤，
所以這樣的兩個(gè)子數(shù)列不存在．
點(diǎn)評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及無窮數(shù)列的各項(xiàng)和公式，同時(shí)本題屬于新定義及結(jié)論探索性問題，這類試題的一般解法是：充分抓住已知條件，找準(zhǔn)問題的突破點(diǎn)，由淺入深，多角度、多側(cè)面探尋，聯(lián)系符合題設(shè)的有關(guān)知識，合理組合發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，圍繞所探究的結(jié)論環(huán)環(huán)相扣，步步逼近發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論．熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．