Question

（2008•普陀區(qū)一模）定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來(lái)的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．
已知無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)、公比均為

1

2

．
（1）試求無(wú)窮等比子數(shù)列{a_3k-1}（k∈N^*）各項(xiàng)的和；
（2）是否存在數(shù)列{a_n}的一個(gè)無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為

1

7

？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）試設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，研究：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系．請(qǐng)寫出你的問(wèn)題以及問(wèn)題的研究過(guò)程和研究結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由已知無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)與公比，得到無(wú)窮等比子數(shù)列{a_3k-1}的通項(xiàng)公式，得到無(wú)窮等比子數(shù)列{a_3k-1}的首項(xiàng)與公比，即可求出無(wú)窮等比子數(shù)列{a_3k-1}各項(xiàng)的和；
（2）存在，理由為：設(shè)出子數(shù)列的首項(xiàng)與公比，根據(jù)題意得到q的范圍為0＜q≤

1

2

，進(jìn)而求出1-q的范圍，得到

1

1-q

的范圍，令各項(xiàng)的和等于

1

7

，表示出首項(xiàng)a₁，根據(jù)1-q的范圍，求出a₁的范圍，而根據(jù)題意得a₁=

1

2m

（m為正整數(shù)），可得a₁及q的值，故滿足題意的無(wú)窮子數(shù)列存在且唯一，根據(jù)求出的a₁和q的值，寫出其通項(xiàng)公式即可；
（3）根據(jù)題意設(shè)計(jì)問(wèn)題為：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．不存在，理由是：分別設(shè)出這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為

1

2a

、

1

2m

和

1

2b

、

1

2n

，分別表示出各項(xiàng)的和，根據(jù)乘積為1，得到關(guān)系式，化簡(jiǎn)后，根據(jù)m，n，a，b為正整數(shù)，得到左邊可能為偶數(shù)或分?jǐn)?shù)，而右邊只能為奇數(shù)，故等式不可能成立，則這樣的兩個(gè)子數(shù)列不存在．

解答：解：（1）依條件得：a3k-1=

1

23k-1

(k∈N*)，
∴無(wú)窮等比子數(shù)列{a_3k-1}的首項(xiàng)為a₂=

1

22

，公比為

1

23

，
則無(wú)窮等比數(shù)列{a_3k-1}各項(xiàng)的和為：

a2

1- 1 23

=

1 22

7 8

=

2

7

；
（2）設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公比為q，由條件得：0＜q≤

1

2

，
則

1

2

≤1-q＜1，即 1＜

1

1-q

≤2，
∴a1=

1

7

(1-q)∈[

1

14

 ，

1

7

)
而 a1=

1

2m

 (m∈N*)，
則 a1=

1

8

 ，q=

1

8

，
所以，滿足條件的無(wú)窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項(xiàng)、公比均為

1

8

，
其通項(xiàng)公式為an=(

1

8

)n，n∈N^*；
（3）問(wèn)題：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．
解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和之積為1．設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為

1

2a

、

1

2m

和

1

2b

、

1

2n

，其中a、b、m、n∈N^*且a≠b或m≠n，則

1 2a

1- 1 2m

•

1 2b

1- 1 2n

=1⇒

2(m+n)-(a+b)

(2m-1)(2n-1)

=1⇒2(m+n)-(a+b)=(2m-1)(2n-1)，
因?yàn)榈仁阶筮吇驗(yàn)榕紨?shù)，或?yàn)橐粋�(gè)分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個(gè)奇數(shù)的乘積，還是一個(gè)奇數(shù)．
故等式不可能成立，即假設(shè)錯(cuò)誤，
所以這樣的兩個(gè)子數(shù)列不存在．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)和公式，同時(shí)本題屬于新定義及結(jié)論探索性問(wèn)題，這類試題的一般解法是：充分抓住已知條件，找準(zhǔn)問(wèn)題的突破點(diǎn)，由淺入深，多角度、多側(cè)面探尋，聯(lián)系符合題設(shè)的有關(guān)知識(shí)，合理組合發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，圍繞所探究的結(jié)論環(huán)環(huán)相扣，步步逼近發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論．熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．