【題目】已知兩動圓),把它們的公共點的軌跡記為曲線,若曲線軸的正半軸的交點為,且曲線上的相異兩點滿足:.

1)求曲線的軌跡方程;

2)證明直線恒經(jīng)過一定點,并求此定點的坐標;

3)求面積的最大值.

【答案】1;(2)見解析;(3.

【解析】

1)設兩動圓的公共點為,由橢圓定義得出曲線是橢圓,并得出、的值,即可得出曲線的方程;

2)求出點,設點,對直線的斜率是否存在分兩種情況討論,在斜率存在時,設直線的方程為,并將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達定理,結合條件并代入韋達定理求出的值,可得出直線所過點的坐標,在直線的斜率不存在時,可得出直線的方程為,結合這兩種情況得出直線所過定點坐標;

3)利用韋達定理求出面積關于的表達式,換元,然后利用基本不等式求出的最大值.

1)設兩動圓的公共點為,則有:

由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓,,所以曲線的方程是:;

2)由題意可知:,設,

的斜率存在時,設直線,聯(lián)立方程組:

,把②代入①有:

③,④,

因為,所以有,

,把③④代入整理:

,(有公因式)繼續(xù)化簡得:

,(舍),

的斜率不存在時,易知滿足條件的直線為:

過定點,綜上,直線恒過定點;

3面積

由第(2)小題的③④代入,整理得:,

在橢圓內(nèi)部,所以,可設

,時取到最大值).

所以面積的最大值為

練習冊系列答案
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A. B.

C. D.

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1)若要保證項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤,則最多調(diào)出多少人參加項目從事售后服務工作?

2)在(1)的條件下,當從項目調(diào)出的人數(shù)不能超過總人數(shù)的時,才能使得項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤,求實數(shù)的取值范圍.

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1)求公比q及數(shù)列的通項公式;

2)若,求項數(shù)n的取值范圍.

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