【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+(x2-3x)lnx

(1)求函數(shù)f(x)x=e處的切線方程

(2)對任意的x)都存在正實數(shù)a,使得方程f(x)=a至少有2個實根, a的最小值

【答案】(1)(5e-6)x-y-3e2+3e=0(2)1

【解析】分析:(1)求出,由的值可得切點坐標(biāo),由的值,可得切線斜率,利用點斜式可得曲線在點處的切線方程;(2)首先可得是方程的根,只需方程另外至少一個根即可,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)圖象,可得函數(shù)的極值與最值,從而可得的最大值.

詳解:(1)f/(x)=3x-3+(2x-3)lnx k=f/(e)=5e-6切點為:(e,2-3e)

切線方程為: y-2+3e=(5e-6)(x-e) (5e-6)x-y-3+3e=0

(2)令f/(x)=0 3x-3+(2x-3)lnx=0 顯然x=1是方程的根

f//(x)=2lnx 易知f//(x)在(0,)上遞增,容易驗證f//()=3-3e f//(1), 存在x1使得f//(x1)=0

所以當(dāng)x1)時,f//(x), f/(x)遞減,

當(dāng)x1,時,f//(x), f/(x)遞增

f/(x1)/(1)=0,又f()=,故存在x2x1)使得f/(x2) =0,列出下表:

x

(0,x2)

x2

(x2,1)

1

(1,)

f/(x)

+

0

-

0

+

f(x)

極大值

極小值

所以f(x)x=x2處取極大值;在處取得極小值.f(1)=1;x0f(x)

作出f(x)的示意圖可知: a的最小值為1

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【題目】如圖,在四棱柱中,平面,,,為棱上一動點,過直線的平面分別與棱交于點,,則下列結(jié)論正確的是__________

①對于任意的點,都有

②對于任意的點,四邊形不可能為平行四邊形

③存在點,使得為等腰直角三角形

④存在點,使得直線平面

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【題目】從某校高三年級中隨機(jī)抽取100名學(xué)生,對其高校招生體檢表中的視圖情況進(jìn)行統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知從這100人中隨機(jī)抽取1人,其視力在的概率為.

(1)求的值;

(2)若某大學(xué)專業(yè)的報考要求之一是視力在0.9以上,則對這100人中能報考專業(yè)的學(xué)生采用按視力分層抽樣的方法抽取8人,調(diào)查他們對專業(yè)的了解程度,現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行是否有意向報考該大學(xué)專業(yè)的調(diào)查,記抽到的學(xué)生中視力在的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】隨著經(jīng)濟(jì)模式的改變,微商和電商已成為當(dāng)今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內(nèi),沒售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元,未售出的商品,每1噸虧損0.3萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗,得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個銷售季度籌備了130噸該商品,現(xiàn)以(單位:噸,)表示下一個銷售季度的市場需求量,(單位:萬元)表示該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.

(Ⅰ)視分布在各區(qū)間內(nèi)的頻率為相應(yīng)的概率,求;

Ⅱ)將表示為的函數(shù),求出該函數(shù)表達(dá)式;

Ⅲ)在頻率分布直方圖的市場需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值(組中值代表該組的各個值,并以市場需求量落入該區(qū)間的頻率作為市場需求量取該組中值的概率(例如,則取的概率等于市場需求量落入的頻率),的分布列及數(shù)學(xué)期望

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【題目】某品牌汽車的店,對最近100份分期付款購車情況進(jìn)行統(tǒng)計,統(tǒng)計情況如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.4;該店經(jīng)銷一輛該品牌汽車,若顧客分3期付款,其利潤為1萬元;分6期或9期付款,其利潤為2萬元;分12期付款,其利潤為3萬元.

付款方式

分3期

分6期

分9期

分12期

頻數(shù)

20

20

(1)若以上表計算出的頻率近似替代概率,從該店采用分期付款購車的顧客(數(shù)量較大)中隨機(jī)抽取3為顧客,求事件:“至多有1位采用分6期付款“的概率

(2)按分層抽樣方式從這100為顧客中抽取5人,再從抽取的5人中隨機(jī)抽取3人,記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖,已知矩形中,,為邊的中點,將沿直線翻折成,若是線段的中點,則在翻折過程中,下列命題:

①線段的長是定值;

②存在某個位置,使;

③點的運動軌跡是一個圓;

④存在某個位置,使得

正確的個數(shù)是()

A. B. C. D.

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