Question

【題目】設(shè)命題p：方程x2+2mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)根，命題q：x∈R，x2+2（m﹣2）x﹣3m+10≥0恒成立．
（1）若命題p、q均為真命題，求m的取值范圍；
（2）若命題p∧q為假，命題p∨q為真，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2+2mx+1

∵方程x2+2mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)根

∴函數(shù)f（x）=x2+2mx+1圖象與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

∴滿足的條件為 ，即

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍m＞1

故實(shí)數(shù)m的取值范圍（1，+∞），

若命題q為真，則有△=4（m﹣2）2﹣4（﹣3m+10）≤0

解得﹣2≤m≤3．

若p、q均為真命題，則 ，即1＜m≤3

（2）解：由p∨q為真，p∧q為假知，p、q一真一假．

①當(dāng)p真q假時(shí)， ，

即m＞3；

②當(dāng)p假q真時(shí)， ，

即﹣2≤m≤1．

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞3或﹣2≤m≤1．

綜上可述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（3，+∞）∪[﹣2，1]

【解析】（1）根據(jù)一元二次方程與一元二次函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．（2）根據(jù)復(fù)合命題p∧q為假，命題p∨q為真，得到p、q一真一假，進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了復(fù)合命題的真假的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真才能正確解答此題．