已知兩點M（-1，0）、N（1，0），動點P（x，y）滿足|
MN
|•|
NP
|-
MN
•
MP
=0，
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）假設(shè)P1、P2是軌跡C上的兩個不同點，F(xiàn)（1，0），λ∈R，
FP1
=λ
FP2
，求證：
1
|FP1|
+
1
|FP2|
=1．
分析：（1）由|
MN
|=2，知
MP
=(x+1，y)，
NP
=(x-1，y)．由|
MN
|•|
NP
|-
MN
•
MP
=0，得2
(x-1)2+y2
-2(x+1)=0，由此能導(dǎo)出點P的軌跡C的方程．
（2）由
FP1
=λ•
FP2
，得F、P1、P2三點共線，設(shè)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），直線P1P2的方程為：y=k（x-1），代入y2=4x得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0，所以
1
|FP1|
+
1
|FP2|
=
1
x1+1
+
1
x2+1
=
x1+x2+2
x1x2+(x1+x2)+1
=1．
解答：解 （1）|
MN
|=2；則
MP
=(x+1，y)，
NP
=(x-1，y)
由|
MN
|•|
NP
|-
MN
•
MP
=0，則2
(x-1)2+y2
-2(x+1)=0，
化簡整理得y2=4x
（2）由
FP1
=λ•
FP2
，得F、P1、P2三點共線，
設(shè)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），直線P1P2的方程為：y=k（x-1）
代入y2=4x得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0則x1•x2=1，x1+x2=
2k2+4
k2

∴
1
|FP1|
+
1
|FP2|
=
1
x1+1
+
1
x2+1
=
x1+x2+2
x1x2+(x1+x2)+1
=1
當P1P2垂直x軸時，結(jié)論照樣成立．
點評：本題考查點P的軌跡C的方程，求證
1
|FP1|
+
1
|FP2|
=1；解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩點M（-1，0），N（1，0），且點P使
MP
•
MN
，
PM
•
PN
，
NM
•
NP
成公差小于零的等差數(shù)列．
（1）點P的軌跡是什么曲線？
（2）若點P坐標為（x0，y0），記θ為
PM
與
PN
的夾角，求tanθ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩點M（-1，0），N（1，0）若直線3x-4y+m=0上存在點P滿足
PM
•
PN
=0，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A、（-∞，-5]∪[5，+∞）
B、（-∞，-25]∪[25，+∞）
C、[-25，25]
D、[-5，5]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩點M（-1，0），N（1，0）且點P使
MP
•
MN
，
PM
•
PN
，
NM
•
NP
成等差數(shù)列．
（1）若P點的軌跡曲線為C，求曲線C的方程；
（2）從定點A（2，4）出發(fā)向曲線C引兩條切線，求兩切線方程和切點連線的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•廣州模擬）已知兩點M（-1，0）、N（1，0），點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足|
MN
|•|
NP
|=
MN
•
MP
．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若點A（t，4）是動點P的軌跡上的一點，K（m，0）是x軸上的一動點，試討論直線AK與圓x2+（y-2）2=4的位置關(guān)系．

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同步練習(xí)冊答案