Question

（2010•廣州模擬）已知兩點(diǎn)M（-1，0）、N（1，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足|

MN

|•|

NP

|=

MN

•

MP

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)A（t，4）是動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上的一點(diǎn)，K（m，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，試討論直線AK與圓x²+（y-2）²=4的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），由 |

MN

|•|

NP

|=

MN

•

MP

，得 2

(x-1)2+y2

=2(x+1)，由此化簡(jiǎn)能求出點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）由題意得，圓的圓心坐標(biāo)為（0，2），半徑為2．當(dāng)m=4時(shí)，直線AK的方程為x=4，此時(shí)，直線AK與圓M相離；當(dāng)m≠4時(shí)，寫(xiě)出直線AK的方程，圓心M（0，2）到直線AK的距離，由此可判斷直線AK與圓的位置關(guān)系．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），則

MN

=(2，0)，

NP

=(x-1，y)，

MP

=(x+1，y)．（2分）
由|

MN

|•|

NP

|=

MN

•

MP

，
得2

(x-1)2+y2

=2(x+1)，（4分）
化簡(jiǎn)得y²=4x．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x．（5分）
（2）由點(diǎn)A（t，4）在軌跡y²=4x上，則4²=4t，解得t=4，即A（4，4）．（6分）
當(dāng)m=4時(shí)，直線AK的方程為x=4，此時(shí)直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．（7分）
當(dāng)m≠4時(shí)，直線AK的方程為y=

4

4-m

(x-m)，即4x+（m-4）y-4m=0，（8分）
圓心（0，2）到直線AK的距離d=

|2m+8|

16+(m-4)2

，
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

＜2，解得m＜1；
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

=2，解得m=1；
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

＞2，解得m＞1．
綜上所述，當(dāng)m＜1時(shí)，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相交；
當(dāng)m=1時(shí)，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相切；
當(dāng)m＞1時(shí)，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的數(shù)量積、曲線方程的求法、直線與圓的位置關(guān)系以及分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化能力．