【題目】已知函數(shù)f(x)=mlnx﹣x2+2(m∈R).
(1)當(dāng)m=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在x=1時取得極大值,求證:f(x)﹣f′(x)≤4x﹣3;
(3)若m≤8,當(dāng)x≥1時,恒有f(x)﹣f′(x)≤4x﹣3恒成立,求m的取值范圍.

【答案】
(1)解:f(x)的定義域為(0,+∞), ,

解f′(x)=0,得 .當(dāng) 時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng) 時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

綜上,當(dāng)m=1時,f(x)在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.


(2)解:若f(x)在x=1時取得極大值,則 ,則m=2.

此時f(x)=2lnx﹣x2+2,

令g(x)=f(x)﹣f′(x)﹣4x+3,

.

令g′(x)=0,得x=±1.列表得

x

(0,1)

1

(1,+∞)

g′(x)

+

0

g(x)

極大值

…(8分)

由上表知,gmax(x)=g(1)=0,所以g(x)≤0,即f(x)﹣f′(x)≤4x﹣3.


(3)解:令

①.

當(dāng)m≤2時,g′(x)<0,所以g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x≥1,g(x)≤

g(1),

故只需g(1)≤0,即﹣1﹣2﹣m+5≤0,即m≥2,所以m=2.

②當(dāng)2<m≤8時,解g′(x)=0,得

當(dāng) 時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng) 時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

所以當(dāng) 時,g(x)取得最大值.

故只需 ,即 ,

,則 ,

所以h′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

又h′(1)=﹣2<0,h′(4)=ln4﹣1>0,以x0∈(1,4),h′(x0)=0,

所以h(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,

在(x0,4)上遞增,而h(1)=﹣1﹣4+5=0,h(4)=4ln4﹣4﹣8+5=8ln2﹣7<0,

所以x∈[1,4]上恒有h(x)≤0,

所以當(dāng)2<m≤8時,

綜上所述,2≤m≤8.


【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用f′(x)=0,求出極值點判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出單調(diào)區(qū)間.(2)利用f(x)在x=1時取得極大值,求出m,令g(x)=f(x)﹣f′(x)﹣4x+3,通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出函數(shù)的最值即可.(3)令 ,求出導(dǎo)函數(shù),通過當(dāng)m≤2時,g′(x)<0,當(dāng)2<m≤8時,求出g(x)取得最大值.然后求解2≤m≤8.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案.

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