Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：，；

（2）判斷的零點(diǎn)個數(shù)，并給出證明過程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）三個零點(diǎn)，證明見解析.

【解析】

（1）由函數(shù)是偶函數(shù)，只需利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在區(qū)間上的最大值即可；

（2）由（1）得出函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點(diǎn)，然后利用函數(shù)值符號得出該函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并分析極值的符號，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出該函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn)，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出該函數(shù)在區(qū)間上也只有一個零點(diǎn)，從而得出函數(shù)有三個零點(diǎn).

（1），，則該函數(shù)為偶函數(shù)，

只需證，其中.

，.

當(dāng)時，令，得.

當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.

，，

當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，則，

因此，對任意的，；

（2）三個零點(diǎn)，證明如下：

由（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)有一個零點(diǎn).

當(dāng)時，，此時，函數(shù)無零點(diǎn)；

當(dāng)時，，.

此時，函數(shù)單調(diào)遞增，，.

由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得.

當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.

，，.

由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn)，即函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn).

由于函數(shù)為偶函數(shù)，所以，函數(shù)在上無零點(diǎn)，在上有且只有一個零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)有三個零點(diǎn).