Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2 ．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于函數(shù)f（x）=2 ，

令t=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4≥﹣4，可得f（x）=g（t）=2t （t≥﹣4）．

由于t的定義域為R，故故函數(shù)的定義域為R．

∵t≥﹣4，故f（x）≥2﹣4= ，故f（x）的值域為[ ，+∞）．

（2）解：根據(jù)f（x）=g（t）=2t，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即函數(shù)t的單調(diào)區(qū)間．

由于函數(shù)t=（x﹣1）2﹣4的減區(qū)間為（﹣∞，1]，增區(qū)間為：[1，+∞），

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間：（﹣∞，1]，單調(diào)遞增區(qū)間：[1，+∞）

【解析】（1）令t=x2﹣2x﹣3，f（x）=g（t）=2t （t≥﹣4），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得t的定義域與值域，可得函數(shù)f（x）的定義域和值域．（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即函數(shù)t的單調(diào)區(qū)間，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域，需要了解求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的才能得出正確答案．