Question

已知一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球（n≥1且n∈N₊）和2個(gè)白球，從中有放回連續(xù)摸三次，每次摸出2個(gè)球，若兩個(gè)球顏色不同，則為中獎(jiǎng)．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，設(shè)中獎(jiǎng)次數(shù)為ζ，求ζ的分布列及期望；
（2）記三次摸球中，恰好兩次中獎(jiǎng)概率為P，當(dāng)n為多少時(shí)，P有最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=3時(shí)，每次摸出兩個(gè)球，中獎(jiǎng)的概率p=

3×2

C 2 5

=

3

5

，設(shè)中獎(jiǎng)次數(shù)為ζ，則ζ的可能取值為0，1，2，3．分別求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ．
（2）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，則三次摸球（每次摸球后放回）恰有兩次中獎(jiǎng)的概率為P（ζ=2）=

C

2 3

•p²•（1-p）=-3p³+3p²，0＜p＜1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出n為1或2時(shí)，P有最大值．

解答：解：（1）當(dāng)n=3時(shí)，每次摸出兩個(gè)球，中獎(jiǎng)的概率p=

3×2

C 2 5

=

3

5

，
設(shè)中獎(jiǎng)次數(shù)為ζ，則ζ的可能取值為0，1，2，3．
P（ζ=0）=

C

0 3

(

2

5

)3=

8

125

，
P（ζ=1）=

C

1 3

(

3

5

)(

2

5

)2=

36

125

，
P（ζ=2）=

C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

)=

54

125

，
P（ζ=3）=

C

3 3

(

3

5

)3=

27

125

．
∴ζ的分布列為：

ζ	0	1	2	3
P	8 125	36 125	54 125	27 125

Eζ=0×

8

125

+1×

36

125

+2×

54

125

+3×

27

125

=

9

5

．
（2）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，則三次摸球（每次摸球后放回）恰有兩次中獎(jiǎng)的概率為：
P（ζ=2）=

C

2 3

•p²•（1-p）=-3p³+3p²，0＜p＜1，
p′=-9p²+6p=-3p（3p-2），
當(dāng)p∈（0，

2

3

）時(shí)，p′＞0；當(dāng)p∈（

2

3

，1）時(shí)，p′＜0．
∴在（0，

2

3

）上，p為增函數(shù)；在（

2

3

，1）上，p為減函數(shù)．
∴當(dāng)p=

2

3

時(shí)，p取得最大值，
∵p=

4n

(n+1)(n+2)

=

2

3

，即n²-3n-2=0，解得n=1或n=2．
故n為1或2時(shí)，P有最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)斯望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．