Question

已知三點(diǎn)A（2，1）、B（3，2）、D（-1，4）．
（1）證明：AB⊥AD．
（2）若點(diǎn)C使得四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求該矩形對(duì)角線所夾的銳角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）求出向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0，兩向量垂直證出兩線垂直．
（2）利用向量相等對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)相等求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出兩對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出向量的夾角．

解答：（1）證明：可得

AB

=(1，1)，

AD

=(-3，3)，

AB

•

AD

=1×(-3)+1×3=0，
∴AB⊥AD；
（2）由（1）及四邊形ABCD為矩形，得

AB

=

DC

，設(shè)C（x，y），
則（1，1）=（x+1，y-4），∴

x+1=1 y-4=1

，得

x=0 y=5

，即C（0，5）；
∴

AC

=(-2，4)，

BD

=(-4，2)，
得

AC

•

BD

=8+8=16，|

AC

|=2

5

，|

BD

|=2

5

，
設(shè)

AC

與

BD

夾角為θ，則cosθ=

16

20

=

4

5

＞0，
∴該矩形對(duì)角線所夾的銳角的余弦值

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩向量垂直的充要條件并利用向量垂直證明兩線垂直；利用向量的數(shù)量積求向量的夾角．