Question

（2013•廣州三模）如圖，在等腰梯形PDCB中，PB∥CD，PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求證：平面PAD⊥平面PCD．
（2）在線段PB上是否存在一點M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分的體積之比為V_PDCMA：V _M-ACB=2：1，若存在，確定點M的位置；若不存在，說明理由．
（3）在（2）的條件下，判斷AM是否平行于平面PCD．

Answer 1

分析：（1）利用已知可證明CD⊥AD，再利用面面垂直的性質定理平面PAD⊥平面ABCD，且交線為AD，即可得出DC⊥平面PAD．利用面面垂直的判定定理即可即可證明結論；
（2）在線段PB上存在這樣的點M，當M為PB中點時，使截面AMC把幾何體分成的兩部分V_PDCMA：V_M-ACB=2：1．利用三角形的中位線定理可得：點M到面ACB的距離等于

1

2

PA，利用三棱錐的體積計算公式即可得到V_M-ACB，利用四棱錐的體積計算公式即可得到V_P-ABCD，進而得出結論．
（3）AM與平面PCD不平行．可用反證法證明．利用線面平行的判定定理可得AB∥平面PCD．若AM∥平面PCD，可得平面ABM∥平面PCD．這與平面ABM與平面PCD有公共點P矛盾．

解答：（1）證明：在梯形PDCB中，連接AC，∵PA

∥ .

.

CD，∴四邊形PACD為平行四邊形．
∴PD=AC，
∵PD=

2

，∴AC=

2

．
∵DC=PA=1，∴AC²=AD²+CD²
∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且交線為AD
∴DC⊥平面PAD．
∵DC?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（2）在線段PB上存在這樣的點M，當M為PB中點時，使截面AMC把幾何體分成的兩部分V_PDCMA：V_M-ACB=2：1．理由如下：
∵DC∥PA，CD⊥AD，∴PA⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且交線為AD
∴PA⊥平面ABCD，
∵M為PB中點，∴點M到面ACB的距離等于

1

2

PA=

1

2

．
∴V_M-ACB=

1

3

×

1

2

•S△ACB=

1

6

．
∵VP-ABCD=

1

3

PA•S梯形ABCD=

1

3

×1×

(1+2)×1

2

=

1

2

，
∴VPDCMA=VP-ABCD-VM-ADP=

1

3

．
∴

VPDCMA

VMABC

=

2

1

，故M為PB中點．
（3）AM與平面PCD不平行．
∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD．
若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，∴平面ABM∥平面PCD．
這與平面ABM與平面PCD有公共點P矛盾．
∴AM與平面PCD不平行．

點評：本題綜合考查了線面與面面垂直的判定定理及性質定理、線面與面面垂直的平行定理及性質定理、棱錐的體積、反證法等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．