Question

（2013•廣州三模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法1 先由AD⊥PA．AD⊥AB，證出AD⊥平面PAB得出AD⊥PB．又N是PB的中點(diǎn)，PA=AB，得出AN⊥PB．證出PB⊥平面ADMN后，即可證出PB⊥DM．
 解法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)BC=1，通過證明

PB

•

DM

=0證出PB⊥DM 
 （Ⅱ）解法1：取AD中點(diǎn)Q，連接BQ和NQ，則BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，所以CD與平面ADMN所成的角為∠BQN．在Rt△BQN中求解即可．
 解法2，通過 PB⊥平面ADMN，可知

PB

 是平面ADMN 的一個(gè)法向量，?

PB

，

DC

＞的余角即是CD與平面ADMN所成的角．

解答：（本題滿分13分）
解：（Ⅰ）解法1：∵N是PB的中點(diǎn)，PA=AB，∴AN⊥PB．
∵PA⊥平面ABCD，所以AD⊥PA．
又AD⊥AB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，AD⊥PB．
又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN．
∵DM?平面ADMN，∴PB⊥DM．                   …（6分）
解法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)BC=1，
可得，A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M(1，

1

2

，1)，D（0，2，0）．
因?yàn)?nbsp;

PB

•

DM

=(2，0，-2)•(1，-

3

2

，1)=0，所以PB⊥DM．  …（6分）

（Ⅱ）解法1：取AD中點(diǎn)Q，連接BQ和NQ，則BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，∴CD與平面ADMN所成的角為∠BQN．
設(shè)BC=1，在Rt△BQN中，則BN=

2

，BQ=

5

，故sin∠BQN=

10

5

．
所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為

10

5

．          …（13分）
解法2：因?yàn)?span id="jkqic4j" class="MathJye">

PB

•

AD

=(2，0，-2)•(0，2，0)=0．
所以 PB⊥AD，又PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN，
因此?

PB

，

DC

＞的余角即是CD與平面ADMN所成的角．
因?yàn)?nbsp;cos?

PB

，

DC

＞=

PB • DC

| PB || DC |

=

10

5

．
所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為

10

5

．         …（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查空間角，距離的計(jì)算，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計(jì)算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．