Question

（2007•煙臺(tái)三模）給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)a，使sinacosa=1；
②存在實(shí)數(shù)a，使sina+cosa=

3

2

③y=sin（

5

2

π-2x）是偶函數(shù)；
④x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5

4

π）的一條對(duì)稱軸方程；
⑤若α、β是第一象限角，則tanα＞tanβ
其中正確命題的序號(hào)是

③④

．（注：把所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：①可得2sinacosa=2，由三角函數(shù)的有界性可知錯(cuò)誤；
②可得sina+cosa=

2

sin（α+

π

4

），由振幅的意義可知錯(cuò)誤；
③由誘導(dǎo)公式可得y=cos2x，可判正確；
④由2x+

5

4

π=kπ+

π

2

，可求出所有的對(duì)稱軸，驗(yàn)證即可；
⑤舉反例α=361°，β=45°說明．

解答：解：①由sinacosa=1可得2sinacosa=2，即sin2a=2，
由于|sin2a|≤1，故不可能存在實(shí)數(shù)a，使式子成立，故錯(cuò)誤；
②可得sina+cosa=

2

sin（α+

π

4

）≤

2

，而

3

2

＞

2

，
故原式不可能等于

3

2

，故錯(cuò)誤；
③由誘導(dǎo)公式可得y=sin（

5

2

π-2x）=cos2x，顯然是偶函數(shù)，故正確；
④由于函數(shù)y=sin（2x+

5

4

π）的對(duì)稱軸滿足2x+

5

4

π=kπ+

π

2

，
解得x=

kπ

2

-

3π

8

，k∈Z，當(dāng)k=1時(shí)，可得x=

π

8

，故正確；
⑤取α=361°，β=45°，顯然滿足α、β是第一象限角，
但tanα＜tanβ，故錯(cuò)誤．
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，涉及三角函數(shù)的知識(shí)，屬基礎(chǔ)題．