Question

（2013•揭陽二模）如圖已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線為l，焦點為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過原點作傾斜角為

π

3

的直線t，交l于點A，交圓M于點B，且|AO|=|OB|=2．
（1）求圓M和拋物線C的方程；
（2）設(shè)G，H是拋物線C上異于原點O的兩個不同點，且

OG

•

OH

=0，求△GOH面積的最小值；
（3）在拋物線C上是否存在兩點P，Q關(guān)于直線m：y=k（x-1）（k≠0）對稱？若存在，求出直線m的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由|AO|=2，

p

2

=OAcos60°可求得p，從而可求得拋物線C的方程；繼而可求得圓M的半徑r，從而可求其方程；
（2）設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由

OG

•

OH

=0得x₁x₂+y₁y₂=0，由

y

2 1

=4x₁，

y

2 2

=4x₂，可求得x₁x₂=16，利用三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式即可求得△GOH面積的最小值；
（3）設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關(guān)于直線m對稱，且PQ中點D（x₀，y₀），利用P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在拋物線C上，y32=4x₃，y42=4x₄，兩式相減可求得y₀=-2k，最后利用D（x₀，y₀）在m：y=k（x-1）（k≠0）上即可知點D（x₀，y₀）在拋物線外，從而可得答案．

解答：解：（1）∵

p

2

=OAcos60°=2×

1

2

=1，即p=2，
∴所求拋物線的方程為y²=4x--------------------------------（2分）
∴設(shè)圓的半徑為r，則r=

OB

2

•

1

cos60°

=2，∴圓的方程為（x-2）²+y²=4．--------------（4分）
（2）設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由

OG

•

OH

=0得x₁x₂+y₁y₂=0，
∵

y

2 1

=4x₁，

y

2 2

=4x₂，
∴x₁x₂=16，--------------------------------（6分）
∵

S

△GOH

=

1

2

|

OG

||

OH

|，
∴

S

2 △GOH

=

1

4

|

OG

|2•|

OH

|2=

1

4

（x12+y12）（x22+y22）=

1

4

(

x

2 1

+4x1)(

x

2 2

+4x2)，
=

1

4

[(x1x2)2+4x₁x₂（x₁+x₂）+16x₁x₂]
≥

1

4

[(x1x2)2+4x₁x₂•2

x1x2

+16x₁x₂]
=256，
∴

S

△GOH

≥16，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=4時取等號，
∴△GOH面積最小值為16．-------------------------------------------（9分）
（3）設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關(guān)于直線m對稱，且PQ中點D（x₀，y₀）
∵P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在拋物線C上，
∴y32=4x₃，y42=4x₄，
兩式相減得：（y₃-y₄）（y₃+y₄）=4（x₃-x₄）--------------------------------（11分）
∴y₃+y₄=4•

x3-x4

y3-y4

=

4

kPQ

=-4k，
∴y₀=-2k
∵D（x₀，y₀）在m：y=k（x-1）（k≠0）上
∴x₀=-1＜0，點D（x₀，y₀）在拋物線外--------------------------------（13分）
∴在拋物線C上不存在兩點P，Q關(guān)于直線m對稱．--------------------------（14分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查圓的標準方程與拋物線的標準方程，考查基本不等式及點差法，突出抽象思維能力與運算能力的考查，屬于難題．