Question

（2013•寧波二模）如圖，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率是

2

2

，P₁、P₂是橢圓E的長軸的兩個端點（P₂位于P₁右側(cè)），點F是橢圓E的右焦點．點Q是x軸上位于P₂右側(cè)的一點，且滿足

1

|P1Q|

+

1

|P2Q|

=

2

|FQ|

=2．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程以及點Q的坐標；
（Ⅱ） 過點Q的動直線l交橢圓E于A、B兩點，連結(jié)AF并延長交橢圓于點C，連結(jié)BF并延長交橢圓于點D．
①求證：B、C關(guān)于x軸對稱；
②當四邊形ABCD的面積取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點F（c，0），Q（x，0）（x＞a），由

1

|P1Q|

+

1

|P2Q|

=

2

|FQ|

=2，得x=

a2

c

，依題意|FQ|=1，即

a2

c

-c=

b2

c

=1，再由離心率

c

a

=

2

2

， b2=a2-c2，聯(lián)立即可解得a，b，c，及點Q坐標；
（Ⅱ）①設(shè)直線l的方程為x=my+2，代入橢圓E的方程可得（2+m²）y²+4my+2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點B關(guān)于x軸的對稱點B₁（x₂，-y₂），只需證明B₁即為點C，可證A、F、B₁三點共線，根據(jù)斜率相等及韋達定理即可證明；②由①得B、C關(guān)于x軸對稱，同理A、D關(guān)于x軸對稱，易知四邊形ABCD是一個等腰梯形，從而四邊形ABCD的面積S=|x₁-x₂|•（|y₁|+|y₂|）=|m|•|y₁-y₂|•|y₁+y₂|，代入韋達定理可得關(guān)于m的函數(shù)，通過換元借助導(dǎo)數(shù)可求得S的最大值及相應(yīng)的m值，從而可得直線方程；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點F（c，0），Q（x，0）（x＞a）．

由

1

|P1Q|

+

1

|P2Q|

=

2

|FQ|

=2，
可得

1

x+a

+

1

x-a

=

2

x-c

，解得x=

a2

c

．
依題意|FQ|=1，即

a2

c

-c=

b2

c

=1．
又因為

c

a

=

2

2

， b2=a2-c2，所以a=

2

， b=c=1．
故橢圓的方程是

x2

2

+y2=1，點Q的坐標是（2，0）．        
（Ⅱ）①設(shè)直線l的方程為x=my+2，代入橢圓E的方程可得（2+m²）y²+4my+2=0，
依題意，△=（4m）²-8（2+m²）=8（m²-2）＞0，m²＞2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=-

4m

2+m2

，y1•y2=

2

2+m2

．（*）
點B關(guān)于x軸的對稱點B₁（x₂，-y₂），
則A、F、B₁三點共線等價于

y1

x1-1

=

-y2

x2-1

?

y1

my1+1

+

y2

my2+1

=0?

2my1y2+y1+y2

(my1+1)(my2+1)

=0，
由（*）可知上述關(guān)系成立．
因此，點C即是點B₁，這說明B、C關(guān)于x軸對稱．
②由①得B、C關(guān)于x軸對稱，同理，A、D關(guān)于x軸對稱．
所以，四邊形ABCD是一個等腰梯形，
則四邊形ABCD的面積S=|x₁-x₂|•（|y₁|+|y₂|）=|m|•|y₁-y₂|•|y₁+y₂|=

4m2

2+m2

(y1-y2)2

=8

2

•

m2 m2-2

(2+m2)2

．
設(shè)t=

m2-2

  (t＞0)，則m²=t²+2，S(t)=8

2

•

(t2+2)t

(t2+4)2

．
求導(dǎo)可得S′=-8

2

•

(t4-6t2-8)

(t2+4)3

，令S'=0，可得t2=3+

17

．
由于S（t）在(0，

3+ 17

)上單調(diào)增，在(

3+ 17

，+∞)上單調(diào)減．
所以，當t2=3+

17

即m2=5+

17

時，四邊形ABCD的面積S取得最大值．                     
此時，直線l的方程是x=±

5+ 17

y+2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程及直線的方程，考查三點共線及直線斜率，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析解決問題的能力，本題綜合性強，所用知識點繁多，對能力要求高．