Question

（14分）設(shè)函數(shù)，其中。
⑴當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
⑵求函數(shù)的極值點(diǎn)；
⑶證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式成立。

Answer 1

⑴當(dāng)時(shí)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增
⑵時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)；
時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)。
⑶證明見(jiàn)解析

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，以及函數(shù)與不等式的綜合運(yùn)用。
（1）先求解函數(shù)的定義域，然后求解導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零得到單調(diào)區(qū)間。
（2）由⑴得當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，接下來(lái)對(duì)于參數(shù)b，進(jìn)行分類討論，看導(dǎo)數(shù)為零的解，進(jìn)而確定極值的問(wèn)題。
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令函數(shù)，
則,當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，又,時(shí)，恒有
即恒成立，從而得到證明。
解：⑴由題意知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224024389526.png" style="vertical-align:middle;" />（1分），
設(shè)，其圖象的對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，,即在上恒成立,當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增�！�……………………（3分）
⑵①由⑴得當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)………………………（4分）
②時(shí)，有兩個(gè)相同的解
時(shí)，，時(shí)，
函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)………………………（5分）
③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，
時(shí)，，即
時(shí)，、隨的變化情況如下表：

由此表可知時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)；………………（7分）
當(dāng)時(shí)，，,此時(shí)，、隨的變化情況如下表：

由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；……………（9分）
綜上所述：時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)。（10分）
⑶當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令函數(shù)，
則,當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，又,時(shí)，恒有
即恒成立…………………………（12分）
故當(dāng)時(shí)，有…………………………（13分）
對(duì)任意正整數(shù)，取,則有，故結(jié)論成立�！�…（14分）