Question

（12分）已知是函數(shù)的一個極值點。
（1）求；         （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若直線與函數(shù)的圖象有3個交點，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）的單調(diào)增區(qū)間是,的單調(diào)減區(qū)間是.（Ⅲ）的取值范圍為。

本試題主要是考察了導數(shù)在研究函數(shù)的中 運用，利用函數(shù)的極值點可知導數(shù)為零得到參數(shù)的取值，然后求解析式，并利用導數(shù)來判定函數(shù)的單調(diào)性以及研究常函數(shù)與函數(shù)的交點的問題的綜合運用。
（1）利用函數(shù)在是函數(shù)的一個極值點，說明了該點的導數(shù)值為零，得到參數(shù)的值。
（2）利用第一問的結(jié)論求解導數(shù)，判定單調(diào)區(qū)間。
（3）要研究常函數(shù)與已知函數(shù)的交點問題，關(guān)鍵是弄清楚，函數(shù)y=f(x)與坐標軸的位置關(guān)系即可。
解：（Ⅰ）因為,所以,因此.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,
當時，,當時，,所以的單調(diào)增區(qū)間是
,的單調(diào)減區(qū)間是.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，且當或時，,所以的極大值為，極小值為,
因此,,
所以在的三個單調(diào)區(qū)間直線有的圖象各有一個交點，當且僅當,因此，的取值范圍為。