Question

【題目】已知函數(shù) (， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）的最大值為1.

【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再對(duì)a分類討論，求函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值.(2)先把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程 在上沒有實(shí)數(shù)解，再轉(zhuǎn)化為方程化為沒有實(shí)數(shù)解，得k的最大值.

詳解：（1） ，

①當(dāng)時(shí)， ， 為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值.

②當(dāng)時(shí)，令，得， .

， ； ， .

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故在處取得極小值，且小值為，無極大值.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極小值；

當(dāng)， 在處取得極小值，無極大值.

（2）當(dāng)時(shí)， .

直線與曲線沒有公共點(diǎn)，

等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解，

即關(guān)于的方程 在上沒有實(shí)數(shù)解.

①當(dāng)時(shí)，方程可化為，在上沒有實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)時(shí)，方程化為.

令，則有

令，得，

當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下表：

		-1
	-	0	+
	↘		↗

當(dāng)時(shí)， ，同時(shí)當(dāng)趨于時(shí)， 趨于，

從而的取值范圍為.

所以當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，

解得的取值范圍是.

綜上，得的最大值為1.