Question

【題目】已知函數(shù)，（其中），.

（1）若對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若有兩個極值點，，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由整理可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,即可求解；

（2）先對求導(dǎo),轉(zhuǎn)化問題為方程有兩個正根,,且,可得,解得,再由韋達(dá)定理可得,解得,則可整理,設(shè),進(jìn)而求得的范圍即可.

（1）因為,即,

所以,

令,則,

令，則為上的增函數(shù)，

又，故時，；時，，

所以當(dāng)時,；當(dāng)時,,

在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

當(dāng)時,的極小值為1,

因為,所以,

即a的取值范圍是.

（2）,

則,

因為有兩個極值點,,且,

則方程有兩個正根,,且,

所以,解得,

由,得,即,

所以

,

設(shè),

則,所以在上為減函數(shù),

所以,所以取值范圍是