Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2ex﹣1﹣ x3﹣x2（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x∈（1，+∞）時，用數(shù)學歸納法證明：n∈N* ， ex﹣1＞ （其中n!=1×2×…×n）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=2xex﹣1+x2ex﹣1﹣x2﹣2x=x（x+2）（ex﹣1﹣1），

令f′（x）=0，可得x1=﹣2，x2=0，x3=1．

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	﹣	0	+	0	﹣	0	+
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間為（﹣2，0）和（1，+∞），減區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（0，1）

（2）證明：設(shè)gn（x）=ex﹣1﹣ ，

當n=1時，只需證明g1（x）=ex﹣1﹣x＞0，當x∈（1，+∞）時，g1′（x）=ex﹣1﹣1＞0，

所以g1（x）=ex﹣1﹣x在（1，+∞）上是增函數(shù)，

所以g1（x）＞g1（1）=e0﹣1=0，即ex﹣1＞x；

當x∈（1，+∞）時，假設(shè)n=k時不等式成立，即gk（x）=ex﹣1﹣ ＞0，

當n=k+1時，

因為g′k+1（x）=ex﹣1﹣ =ex﹣1﹣ ＞0，

所以gk+1（x）在（1，+∞）上也是增函數(shù)．

所以gk+1（x）＞gk+1（1）=e0﹣ ＞0，

即當n=k+1時，不等式成立．

由歸納原理，知當x∈（1，+∞）時，n∈N*，ex﹣1＞

【解析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，關(guān)鍵點有二，一是求對導函數(shù)，二是解不等式f′（x）＞0，得到x的范圍，再兼顧函數(shù)的定義域，列出當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況表，將能很輕松的解答問題；（2）本問根據(jù)要證明的不等式：n∈N* ， ex﹣1＞ ．構(gòu)造出函數(shù)設(shè)gn（x）=ex﹣1﹣ ，在利用數(shù)學歸納法證明出當n∈N*時有假設(shè)n=k時不等式成立，即gk（x）=ex﹣1﹣ ＞0，這還要借助于導數(shù)來解答．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)學歸納法的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；數(shù)學歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．