【題目】【2017河北唐山二模】已知函數的圖象與軸相切,.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若,求證:
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)對函數求導,設的圖象與軸相交于點,由題意可得在該點處導數值為0,函數值為0,構造方程組可得的值,將題意轉化為,設,利用導數判斷其單調性求出最大值即可;(Ⅱ)構造函數,對其求導結合(Ⅰ)可得的單調性,從而有,化簡整理可得,運用換底公式及(Ⅰ)中的不等式可得,再次運用可得結論.
試題解析:(Ⅰ),設的圖象與軸相交于點,
則即
解得.
所以,
等價于.
設,則,
當時,,單調遞增;
當時,,單調遞減,
所以,
即,(*),所以.
(Ⅱ)設,則,
由(Ⅰ)可知,當時,,
從而有,所以單調遞增,
又,所以,
從而有,即,
所以,即,
,
又,所以,
又,所以.
綜上可知,.
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【題目】已知左焦點為F(﹣1,0)的橢圓過點E(1, ).過點P(1,1)分別作斜率為k1 , k2的橢圓的動弦AB,CD,設M,N分別為線段AB,CD的中點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若P為線段AB的中點,求k1;
(3)若k1+k2=1,求證直線MN恒過定點,并求出定點坐標.
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【題目】下列命題中:①、若m>0,則方程x2﹣x+m=0有實根. ②、若x>1,y>1,則x+y>2的逆命題. ③、對任意的x∈{x|﹣2<x<4},|x﹣2|<3的否定形式. ④、△>0是一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件.是真命題的有 .
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【題目】數列{an}的前n項和為Sn , 若對于任意的正整數n都有Sn=2an﹣3n.
(1)設bn=an+3,求證:數列{bn}是等比數列,并求出{an}的通項公式;
(2)求數列{nan}的前n項和.
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【題目】【2017安徽阜陽二!恳黄髽I(yè)從某生產線上隨機抽取件產品,測量這些產品的某項技術指標值,得到的頻率分布直方圖如圖.
(1)估計該技術指標值平均數;
(2)在直方圖的技術指標值分組中,以落入各區(qū)間的頻率作為取該區(qū)間值的頻率,若,則產品不合格,現該企業(yè)每天從該生產線上隨機抽取件產品檢測,記不合格產品的個數為,求的數學期望.
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【題目】在某次測驗中,有6位同學的平均成績?yōu)?5分.用xn表示編號為n(n=1,2,…,6)的同學所得成績,且前5位同學的成績如下:
編號n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
成績xn | 70 | 76 | 72 | 70 | 72 |
(1)求第6位同學的成績x6 , 及這6位同學成績的標準差s;
(2)從前5位同學中,隨機地選2位同學,求恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的概率.
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【題目】已知向量 =(1,2), =(x,1);
(1)若( +2 )⊥(2 ﹣ )時,求x的值;
(2)若向量 與向量 的夾角為銳角,求x的取值范圍.
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【題目】【2017南京一模19】設函數,.
(1)當時,解關于的方程(其中為自然對數的底數);
(2)求函數的單調增區(qū)間;
(3)當時,記函數,是否存在整數,使得關于的不等式
有解?若存在,請求出的最小值;若不存在,請說明理由.
(參考數據:,)
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【題目】【南京市、鹽城市2017屆高三年級第二次模擬】(本小題滿分14分)
在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD,然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起,做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖).設小正方形邊長為x厘米,矩形紙板的兩邊AB,BC的長分別為a厘米和b厘米,其中a≥b.
(1)當a=90時,求紙盒側面積的最大值;
(2)試確定a,b,x的值,使得紙盒的體積最大,并求出最大值.
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