Question

（本小題12分）在直三棱柱（側(cè)棱垂直底面）中，，．

（Ⅰ）若異面直線與所成的角為，求棱柱的高；
（Ⅱ）設(shè)是的中點(diǎn)，與平面所成的角為，當(dāng)棱柱的高變化時(shí)，求的最大值．

Answer 1

(1)1(2)

試題分析：解：建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有

，，，，
，，.                       ……… 2分
（Ⅰ）因?yàn)楫惷嬷本�與所成的角，所以，
即，得，解得.              ………… 6分
（Ⅱ）由是的中點(diǎn)，得，于是.
設(shè)平面的法向量為，于是由，，可得
 即 可取， ………… 8分
于是.而. 

令，………………………………10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003244038837.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
所以，
故當(dāng)時(shí)，的最大值.               ………………1 2分
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于幾何體中的高的求解，可以借助于勾股定理來(lái)得到，同時(shí)對(duì)于線面角的求解，一般分為三步驟：先作，二證，三解。這也是所有求角的一般步驟，屬于中檔題。