Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設，試討論單調性；

（2）設，當時，任意，存在，使，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)；（2）.

【解析】

試題（1）先求出的導數(shù)，，然后在的范圍內討論的大小以確定和的解集；（2）時，代入結合上問可知函數(shù)在在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，即在取最小值，若，存在，使，即存在使得.從而得出實數(shù)的取值范圍.注意不能用基本不等式，因為等號取不到，實際上為減函數(shù).所以其值域為，從而，即有.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，

因為，所以，

令，可得，，2分

①當時，由可得，故此時函數(shù)在上是增函數(shù).

同樣可得在和上是減函數(shù). 4分

②當時，恒成立，故此時函數(shù)在上是減函數(shù). 6分

③當時，由可得，故此時函數(shù)在上是增函數(shù)，

在和上是減函數(shù)； 8分

（2）當時，由（1）可知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以對任意的，有，

由條件存在，使，所以， 12分

即存在，使得，

即在時有解,

亦即在時有解,

由于為減函數(shù)，故其值域為，

從而，即有，所以實數(shù)的取值范圍是. 16分