Question

已知f（x）=2007sinx+2008x³且x∈（-1，1）．若f（1-α）+f（1-α²）＜0，則α的取值范圍是

1＜α＜

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由奇偶性的定義分析可得f（x）的奇函數(shù)，再對f（x）求導(dǎo)，分析其導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；結(jié)合得到的f（x）的奇偶性與單調(diào)性，對f（1-α）+f（1-α²）＜0變形可得不等式組

-1＜1-a＜1 -1＜1-a2＜1 1-a＜a2-1

，解可得答案．

解答：解：對于f（x）=2007sinx+2008x³，
f（-x）=2007sin（-x）+2008（-x）³=-2007sinx-2008x³=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)，
f′（x）=2007cosx+6024x²，
當(dāng)x∈（-1，1），易得f′（x）＞0，
則f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
f（1-α）+f（1-α²）＜0⇒f（1-a）＜-f（1-α²），
又由f（x）為奇函數(shù)，可得-f（1-α²）=f（α²-1），
則f（1-α）+f（1-α²）＜0⇒f（1-a）＜f（α²-1），
又由f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，
則有

-1＜1-a＜1 -1＜1-a2＜1 1-a＜a2-1

，
解可得1＜α＜

2

，
故答案為1＜α＜

2

．

點評：本題綜合考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的運用，注意不要忽略x∈（-1，1）這一條件，解題的關(guān)鍵是分析出函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性．