Question

已知某種產(chǎn)品的數(shù)量x（百件）與其成本y（千元）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似用y=ax²+bx+c表示，其中a，b，c為待定常數(shù)，今有實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

產(chǎn)品數(shù)量x（百件）	6	10	20
成本合計(jì)y（千元）	104	160	370

（1）試確定成本函數(shù)y=f（x）；
（2）已知每件這種產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為200元，求利潤(rùn)函數(shù)p=p（x）；
（3）據(jù)利潤(rùn)函數(shù)p=p（x）確定盈虧轉(zhuǎn)折時(shí)的產(chǎn)品數(shù)量．（即產(chǎn)品數(shù)量等于多少時(shí)，能扭虧為盈或由盈轉(zhuǎn)虧）

Answer 1

分析：（1）把表格中的數(shù)據(jù)對(duì)代入二次函數(shù)解析式，求解a，b，c的值，則成本函數(shù)可求；
（2）由收入減去成本得到利潤(rùn)函數(shù)p=p（x）；
（3）直接求解利潤(rùn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程，得到函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由此可以得到盈利和虧損時(shí)的產(chǎn)品數(shù)量的范圍．

解答：解：（1）將表格中相關(guān)數(shù)據(jù)代入y=ax²+bx+c，
得

36a+6b+c=104 100a+10b+c=160 400a+20b+c=370

，
解得a=

1

2

，b=6，c=50．
∴y=f（x）=

1

2

x²+6x+50（x≥0）；
（2）∵x（百件）在每件銷(xiāo)售價(jià)為200元時(shí)的收入為200（百元）=20（千元），
∴p=p（x）
=20x-f（x）
=20x-(

1

2

x2+6x+50)
=-

1

2

x²+14x-50（x≥0）；
（3）令p（x）=0，即-

1

2

x²+14x-50=0，
解得x=14±4

6

，即x₁=4.2，x₂=23.8，
故4.2＜x＜23.8時(shí)，p（x）＞0；x＜4.2或x＞23.8時(shí)，p（x）＜0，
∴當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為420件時(shí)，能扭虧為盈；
當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量為2380件時(shí)由盈變虧．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法，解答此題的關(guān)鍵是注意單位的統(tǒng)一，是中檔題，也是易錯(cuò)題．