Question

【題目】已知?jiǎng)訄A與圓： 相切，且與圓： 相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線.設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交曲線于, 兩個(gè)不同的點(diǎn).

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）試探究和的比值能否為一個(gè)常數(shù)？若能，求出這個(gè)常數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）記的面積為， 的面積為，令，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）圓心的軌跡： ；

（2）和的比值為一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為；

（3）當(dāng)時(shí)， 取最大值.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩圓相切得圓心距與半徑之間關(guān)系： ，消去半徑得，符合橢圓定義，由定義可得軌跡方程（2）探究問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是計(jì)算問(wèn)題，即利用坐標(biāo)求和的比值：根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用兩點(diǎn)間距離公式及韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式可得和的表達(dá)式，兩式相比即得比值（3）因?yàn)?/span>的面積的面積，所以，利用原點(diǎn)到直線距離得三角形的高，而底為弦長(zhǎng)MN（2中已求），可得面積表達(dá)式，為一個(gè)分式函數(shù)，結(jié)合變量分離法（整體代換）、基本不等式求最值

試題解析：解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為，

由于動(dòng)圓一圓相切，且與圓相內(nèi)切，所以動(dòng)圓與圓只能內(nèi)切

∴

∴圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，

∴

故圓心的軌跡．

（2）設(shè)，直線，則直線，

由可得： ，∴，

∴

由可得： ，

∴，

∴

．

∴

∴和的比值為一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為．

（3）∵，∴的面積的面積，∴，

∵到直線的距離，

∴．1

令，則， ，

∵（當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即時(shí)取等號(hào)）

∴當(dāng)時(shí)， 取最大值．1